質問＜２８００＞２００５／１２／３１
from=じゅん
「ベクトル」

四面体OABCにおいて,3組の対辺OAとBC,OBとCA,OCとABが互いに垂直で,
∠BOC＝60°,∠COA＝∠AOB＝45°である。
（1）辺の長さの比OA:OB:OCを求めよ。
（2）辺OAは三角形ABCを含む平面に垂直である事を示せ。
（3）OA＝2のとき,この四面体の体積を求めよ

手も足も出ない状態です。
是非完全解答お願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／７
from=wakky

ベクトルを表す→は省略します
（１）
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝ｃとします。
条件より
ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ４５°＝（√２／２）｜ａ｜｜ｂ｜
同様にして
ｂ・ｃ＝（１／２）｜ｂ｜｜ｃ｜
ｃ・ａ＝（√２／２）｜ｃ｜｜ａ｜
ａ⊥（ｃ－ｂ）よりａ・（ｃ－ｂ）＝０
よって、｜ａ｜（｜ｃ｜－｜ｂ｜）＝０
｜ａ｜＞０より｜ｃ｜＝｜ｂ｜
以下同様にして
｜ｃ｜＝√２｜ａ｜
｜ｂ｜＝√２｜ａ｜
以上から
ＯＡ：ＯＢ：ＯＣ＝１：√２：√２

（２）
（１）の結果から
ａ・（ｂ－ａ）＝０（計算省略）
また
ａ・（ｃ－ｂ）＝０で
ｂ－ａ　と　ｃ－ｂ　は０ベクトルでなく、平行でないから一次独立
よって△ＡＢＣを含む任意のベクトルとｄとすると
ｄ＝ｓ（ｂ－ａ）＋ｔ（ｃ－ｂ）
ただし、ｓ、ｔは実数
と表すことができて
ａ・ｄ＝０だから、題意が示された。

（３）はまだやってません。