質問

はじめまして、某県の公立高校生です。
さっそくですが下の問題をお願いします。

nを自然数とする。√nが自然数となるならば、
√(n+1)が無理数であることを証明せよ。

という問題でまず√(n+1)を有理数であると仮定して、
√(n+1)=kとして両辺二倍してn+1=k^2みたいにして矛盾を導くんだろうなぁ
というところから先がまったく分かりません！
全体を通してヒントやコツなんかを教えていただければ幸いです。

★希望★ヒント希望★

お便り２００５／１２／２４
from=wakky

ヒントということなので
√(n+1)が有理数であると仮定・・・
ここまではいいと思います。
ところが
√(n+1)=kとして両辺二倍してn+1=k^2・・・
これがまずい・・・
有理数であると仮定して矛盾を導く場合
○○＝ｑ／ｐ（ｐとｑは互いに素な整数）
とおいて矛盾を導きます
この問題の場合はｐ，ｑは互いに素な「自然数」でいいでしょう。
√△は正の数なので・・
√nが自然数であると言うことは、nが平方数だということになります。
すなわちｋを整数としてｎ＝ｋ^2とおけるわけです
つまり
ｎ＋１＝ｋ^2＋１＝ｑ^2／ｐ^2としてみてください

お便り２００５／１２／２４
from=juin

背理法
√nは、自然数だが、√(n+1)は有理数であるとする。
仮定より、√n=kとすると、n=k^2
√(n+1)=√(k^2+1)=p/q(p,qは、自然数)となる。
k^2+1=(p/q)^2となり、左辺が自然数だから、p/qも自然数となる。
p/q=mとする。
k^2+1=m^2
1=m^2-k^2=(m+k)(m-k)
よって、
「m+k=1且つm-k=1」または「m+k=-1且つm-k=-1」
解は、(m,k)=(1,0),(-1,0)
自然数を１以上の整数と考えれば、矛盾である。
よって、√(n+1)は無理数である。