質問＜２７８３＞２００５／１２／２４
from=ＴＫ
「フィボナッチ数列」

フィボナッチ数列をmodｐ(ｐは素数）で見たときの周期が、
ｐ≡±１（mod5)の時はｐ－１の約数
ｐ≡±２（mod5)の時は（ｐ＾２）－１の約数

になることを証明せよ。

が、できないんですけど、どなたかお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／２５
from=風あざみ

フィボナッチ数列をa_nとします。
以下の(1)～(7)を証明なしで使います。
(証明が知れたければ初等整数論の本「例えば硲　文夫　著
　　初等代数学　（森北出版）」をご覧下さい。
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(1)
p≡±1　（mod5)の時
5^{(p-1)/2}≡1　(mod　p )
(2)
p≡±2　（mod5)の時
5^{(p-1)/2}≡-1　(mod　p )
(3)
2^(n-1)*a_n=Σ_[i=0]{n_C_(2i+1)*5^i}
(4)
iは2≦i≦p-1となるような自然数とする。
(p+1)_C_i≡0　　(mod　p )
(5)
iは0≦i≦p-1となるような自然数とする。
(p-1)_C_i≡(-1)^i　　(mod　p )
(6)
a_(m+n)=a_(m+1)*a_n+a_m*a_(n-1)
(7)
bをpと互いに素な自然数とすると
b^(p-1)≡1　(mod　p )となる。
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さて、解答に入ります。
p≡±1（mod5)の時の周期はp-1の約数であることを示します。

2^(p-2)*a_(p-1)
=Σ_[i=0]{(p-1)_C_(2i+1)*5^i}
=-(1+5+･･･+5^{(p-3)/2})
≡(1-5^{(p-1)/2)/(1-5)
≡(1-1)/(1-5)
≡0　　(mod　p )

2とpは互いに素だからa_(p-1)≡0　　(mod　p )となる

2^(p-1)*a_p
=Σ_[i=0]{p_C_(2i+1)*5^i}
≡5^{(p-1)/2}
≡1　(mod　p )

したがって
a_(n+p-1)=a_p*a_n+a_(p-1)*a_(n-1)≡a_n　(mod　p )
となります。

したがって
p≡±1（mod　5)の時の周期はp-1の約数であることがいえました。

p≡±2（mod5)の時の周期はp^2-1の約数であることを示します。

2^p*a_(p+1)
=Σ_[i=0]{(p+1)_C_(2i+1)*5^i}
=(p+1)+(p+1)*5^{(p-1)/2}
≡1-1
≡0　　(mod　p )

2とpは互いに素だからa_(p+1)≡0　　(mod　p )となる。

2^(p-1)*a_p
=Σ_[i=0]{p_C_(2i+1)*5^i}
≡5^{(p-1)/2}
≡-1　(mod　p )

a_(n+p+1)=a_(p+1)*a_(n+1)+a_p*a_n≡-a_n　(mod　p )

よって
a_(n+2p+2)≡-a_(n+p+1)≡a_n　(mod　p )
となります。

p^2-1は2p+2=2(p+1)で割り切れるので、p≡±2（mod　5)の時の
周期はp^2-1の約数であることがいえました。