質問＜２７５８＞２００５／１２／９
from=つまようじ
「数Ⅰ分野」

x,y,zが自然数で、
1/x+1/y+1/z=1 (x≦y≦z)
を満たすx,y,zの組を全て求めよ。

という問題です。
ヒントだけでもいいので、何か手がかりを教えて頂けないでしょうか。

★希望★ヒント希望★

お便り２００５／１２／１１
from=wakky

ｘ≦ｙ≦ｚより（１／ｘ）≧（１／ｙ）≧（１／ｚ）
よって
（１／ｘ）＜（１／ｘ）＋（１／ｙ）＋（１／ｚ）≦（３／ｘ）
すなわち
（１／ｘ）＜１≦（３／ｘ）
∴１＜ｘ≦３
したがってｘの取りうる値はｘ＝２またはｘ＝３

ｘ＝２のとき
（１／ｙ）＋（１／ｚ）＝１／２・・①で、２＜ｙ≦ｚ
①より　ｙｚ－２ｙ－２ｚ＝０
（ｙ－２）（ｚ－２）＝４
（ｙ－２，ｚ－２）＝（１，４）、（２，２）、（４，１）
（ｙ，ｚ）＝（３，６）、（４，４）、（６，３）
２＜ｙ≦ｚを考慮して
（ｙ，ｚ）＝（３，６）、（４，４）

ｘ＝３のとき
（１／ｙ）＋（１／ｚ）＝２／３・・②
（３／２）＜ｙ≦ｚであるがｘ≦ｙ≦ｚより
３≦ｙ≦ｚ
②より　２ｙｚ－３ｙ－３ｚ＝０
（２ｙ－３）（２ｚ－３）＝９
（２ｙ－３，２ｚ－３）＝（１，９）、（３，３）、（９，１）
（ｙ，ｚ）＝（２，６）、（３，３）、（６，２）
３≦ｙ≦ｚを考慮して
（ｙ，ｚ）＝（３，３）

以上から
（ｘ，ｙ，ｚ）の組は
（２，３，６）、（２，４，４）、（３，３，３）・・（答）