質問

◆２つのベクトル→a=（１、２）,→b=（１,１/2）のなす角を
二等分する単位ベクトルを求めよ。
◆２つのベクトル→a=（２、２）,→b=（χ、２）のなす角が60°
であるときのχの値を求めよ。

出来れば５時までに解答が知りたいです(T_T)

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／１０
from=wakky

ベクトルの→は省略します。

ａ・ｂ＝２・・①
ａとｂのなす角をθとすると
｜ａ｜＝√５　｜ｂ｜＝√５／２　より
ａ・ｂ＝（５／２）ｃｏｓθ・・②
①②より
ｃｏｓθ＝４／５
０°＜θ＜１８０°より　０°＜θ／２＜９０
ｃｏｓ^2（θ／２）＝（１＋ｃｏｓθ）／２＝９／１０
よってｃｏｓ（θ／２）＝３／√１０
したがってｓｉｎ(θ／２）＝１／√１０
ｂとｘ軸のなす角をαとすると０°＜α＜９０°
ｔａｎα＝１／２よりｃｏｓα＝２／√５
したがってｓｉｎα＝１／√５
ｃｏｓ｛（θ／２）＋α｝
＝ｃｏｓ（θ／２）ｃｏｓα－ｓｉｎ（θ／２）ｓｉｎα
＝１／√２
従って
ｓｉｎ｛（θ／２）＋α｝＝１／√２
以上から求める単位ベクトルは
（１／√２，１／√２）・・・（答）

（別解）このほうがいいかも・・・
原点をＯとして
Ａ（１，２）、Ｂ（１，１／２）とする
∠ＡＯＢの二等分線と直線(線分）ＡＢの交点をＱとする
｜ＯＡ｜＝√５、｜ＯＢ｜＝√５／２
ＡＱ：ＢＱ＝ＯＡ：ＯＢ＝２：１
よって点Ｑは線分ＡＢを２：１に内分するから
点Ｑの座標は（１，１）
求めるのはベクトルＯＱと同じ向きの単位ベクトルだから
｜ＯＱ｜＝√２より
求める単位ベクトルは
（１／√２，１／√２）・・・（答）

後半は
ａ・ｂ＝２ｘ＋４・・①
また
ａ・ｂ＝２√２・√（ｘ^2＋４）ｃｏｓ６０°
　　　＝√２・√（ｘ^2＋４）・・②
②からａ・ｂ＞０なので
①より２ｘ＋４＞０すなわちｘ＞－２
また①②から
２（ｘ^2＋４）＝（２ｘ＋４）^2
これを解いて、ｘ＞－２より
ｘ＝－４＋２√３・・・（答）