質問＜２７３３＞２００５／１１／２７
from=もっさん
「三角比」

三角形ABCにおいて、面積が1でAB＝2であるとき、
BC2乗+（2√3-1）AC2乗の値を最小にするような∠BACの大きさを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１２／４
from=wakky

∠BAC＝θ（0°＜θ＜180°），AC＝t（t＞0)とおく
△ABCの面積が1だから
(1/2)・2・t・sinθ＝1　∴t=1/sinθ・・・①
また、余弦定理より
BC^2＝AB^2+AC^2-2・AB・AC・cosθ
　　＝4+t^2-4tcosθ
　　＝4+(1/sin^2θ)-(4cosθ/sinθ）・・・②
P＝BC^2+(2√3-1)AC^2とおくと①②より
P＝4-(4cosθ/sinθ)+(2√3/sin^2θ)
 ＝(2√3/tan^2θ)-(4/tanθ)+4+2√3
0°＜θ＜180°よりtanθ≠0
(1/tanθ)＝xとおくと
P＝2√3x^2-4x+4+2√3
 ＝2√3{x-(1/√3)}^2+4+(4√3/3)
よってPはx＝1/√3のとき最小値4+(4√3/3)をとる。
このとき
tanθ＝√3と0°＜θ＜180°より
θ＝60°
すなわち
∠BAC＝60°・・・（答）