質問＜２７３＞２０００／６／１８
from=瀬能結城
「高次方程式」

前回はありがとうございました。
今回も、数学の課題問題なのですが、宜しくお願いします。
＜問＞
a,pを実数とする。
方程式（ｘ－２）3＋ａ（ｘ－２）2＋９（ｘ－２）－１８＝０の１つの解が
２＋ｐｉであるとき、ａの値を求め、この方程式をとけ。
（*カッコの後ろの半角の3,2は、指数です）

お返事２０００／６／１８
from=武田

方程式（ｘ－２）3 ＋ａ（ｘ－２）2 ＋９（ｘ－２）－１８＝０……①
の１つの解が２＋ｐｉだから、
ｘ＝２＋ｐｉより、
ｘ－２＝ｐｉ
両辺を２乗して、
（ｘ－２）2 ＝（ｐｉ）2 
（ｘ－２）2 ＝－ｐ2 ……②
②を①に代入して、
－ｐ2 （ｘ－２）－ａｐ2 ＋９（ｘ－２）－１８＝０
－ｐ2 ｘ＋２ｐ2 －ａｐ2 ＋９ｘ－１８－１８＝０
（－ｐ2 ＋９）ｘ＋（２ｐ2 －ａｐ2 －３６）＝０
すべてのｘについてこの式が成り立つためには、
｛－ｐ2 ＋９＝０……③
｛２ｐ2 －ａｐ2 －３６＝０……④
③より
ｐ2 ＝９
∴ｐ＝±３
④に代入して
１８－９ａ－３６＝０
∴ａ＝－２……（答）

①より
（ｘ－２）3 －２（ｘ－２）2 ＋９（ｘ－２）－１８＝０……⑤
ｘ3 －６ｘ2 ＋１２ｘ－８－２ｘ2 ＋８ｘ－８＋９ｘ－１８－１８＝０
ｘ3 －８ｘ2 ＋２９ｘ－５２＝０……⑤
②より
（ｘ－２）2 ＝－９
ｘ2 －４ｘ＋４＋９＝０
ｘ2 －４ｘ＋１３＝０……⑥
⑤を⑥で割って
　　　　　　　　　ｘ　－４
　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ2 －４ｘ＋１３）ｘ3 －８ｘ2 ＋２９ｘ－５２
　　　　　　　　　ｘ3 －４ｘ2 ＋１３ｘ
　　　　　　　　　───────────────
　　　　　　　　　　　－４ｘ2 ＋１６ｘ－５２
　　　　　　　　　　　－４ｘ2 ＋１６ｘ－５２
　　　　　　　　　　　─────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
問題式は次のように因数分解される。
（ｘ2 －４ｘ＋１３）（ｘ－４）＝０
したがって、
ｘ＝－（－２）±√（４－１３）
　＝２±３ｉ、またはｘ＝４……（答）