質問

３＾ｎが３００！の約数であるとき、整数ｎの最大値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２９
from=UnderBird

３００！＝１×２×３×・・・×３００
１から３００までの数を横1列に並べ（実際には全部書けませんが）、
各数の下に３の倍数の個数だけ○を書いてみます。

１２３４５６７８９101112131415161718192021222324
　　○　　○　　○　　○　　○　　○　　○　　○
　　　　　　　　○　　　　　　　　○

････27･･････････81･････
　　○　　　　　○
　　○　　　　　○
　　○　　　　　○
　　　　　　　　○

要するに1行目は３個おき　（３の倍数）
　　　　2行目は９個おき　（９の倍数）
　　　　3行目は２７個おき（２７の倍数）
という具合です。　

よって、３００！のなかに３がいくつ掛けてあるかを数えるには、
３００÷３＝１００　　　　　　１００個
３００÷９＝３３　あまり１　　　３３個
３００÷２７＝１１　あまり３　　１１個
３００÷８１＝３　あまり５７　　　３個
３００÷２４３＝１　あまり５７　　１個
合計１４８個あります。
よって、３＾ｎが３００！の約数であるには、ｎの最大値は１４８となります。

お便り２００５／１１／２９
from=けんさん

１から３００までの整数のうち
　　　　　　３の倍数は１００個
３＾２＝　　９の倍数は　３３個
３＾３＝　２７の倍数は　１１個
３＾４＝　８１の倍数は　　３個
３＾４＝２４３の倍数は　　１個
なので100+33+11+3+1＝148より
３００！＝３＾１４８×ｍとなります。
ｎの最大値は１４８・・・（答）