質問＜２７２０＞２００５／１１／２５
from=けい
「指数関数」

関数y＝２^(2x)＋２^(－2x)＋２^x＋２^(－x)について・・・
(1)２^x＋２^(－x)＝ｔとおいて、ｙをｔの式で表せ。
(2)ｙの最小値とそのときのｘの値を求めよ。
わからなくて困っています。。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２９
from=wakky

（１）
２^x＋２^(-x)＝ｔ
両辺を平方して
２^2x＋２＋２^(-2x)＝ｔ^2
∴２^x＋２^(-x)＝ｔ^2－２
したがって
ｙ＝ｔ^2＋ｔ－２

（２）
まずｔの範囲を調べます。
相加平均と相乗平均の関係から
２^x＋２(-x)≧２√｛２^x・２^(-x)｝＝２√１＝２
すなわち　ｔ≧２
（１）より
ｙ＝ｔ^2＋ｔ－２＝（ｔ＋２）（ｔ－１）
また、平方完成すると
ｙ＝｛ｔ＋（１／２）｝^2－（９／４）
グラフを書くと
ｔ軸とｔ＝－２，１で交わり、頂点のｔ座標は－１／２
よって
ｔ＝２のとき最小値４をとることがわかります。
このとき
２^x＋２^(-x)＝２
２^x＝ｐとおくと　ｐ＞０
ｐ＋（１／ｐ）＝２
ｐ^2－２ｐ＋１＝０
（ｐ－１）^2＝０
よってｐ＝２^x＝１となってｘ＝０
以上から
ｘ＝０のときｙは最小値４をとる・・・（答）