質問

自然数Nの十の位、一の位をそれぞれa,bとする。
このときN＾２の十の位、一の位とNの十の位、一の位が一致するものを求めよ。
（Nは２桁とする）
という問題がわかりません。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２３
from=UnderBird

N=10a+b (a=1から9、b=0から9)とおける。
2乗して1の位が等しくなるのは、
b=0,1,5,6
あとは、場合分けしていく

b=0のとき
　N^2-N=100a^2-10a=10a(10a-1)これが１００の倍数であれば良い。
　そのためには10a-1が１０の倍数であれば良いがそのようなaはない

b=1のとき
　N^2-N=100a^2+10a=10a(10a+1)
　同様に考えて、そのようなaはない

b=5のとき
　N^2-N=10(10a^2+9a+2)で（）内が10の倍数であるには9a+2が１０の倍数で
　あればよいので、a=2

b=6のとき
　N^2-N=10(10a^2+11a+3)で（）内が10の倍数であるには11a+3が１０の倍数
　であればよいので、a=7

よって、N=25,76

お便り２００５／１１／２３
from=wakky

地道にやってみます。
エレガントな回答はどなたかにお願いします。

まず、題意を満たすためには、
Ｎ＝１０ａ＋ｂとおいたとき
Ｎ^2の一の位の数は
ｂ^2の一の位の数と一致しなければなりません。
ｂは０～９の整数なので
ｂ^2の一の位がｂと一致するのは
ｂ＝０，１，５，６のときだけです。

ｂ＝０のとき
Ｎ＝１０ａは１０の倍数だから、Ｎ^2は１００の倍数
つまりａの値にかかわらずＮ^2の十の位の数は０
Ｎは２桁でａは０ではないので不適。

ｂ＝１のとき
Ｎ^2＝１００ａ^2＋２０ａ＋１
１００ａ^2は１００の倍数だから下２桁に影響しません。
１≦ａ≦４のとき
Ｎ^2の十の位の数は　２ａ
題意を満たすためには　２ａ＝ａとなり
ａ＝０　これは、Ｎが２桁にならないので不適
５≦ａ≦９のとき
Ｎ^2の十の位の数は　２ａ－１０
題意を満たすためには
２ａ－１０＝ａ
ａ＝１０
これもＮが２桁とならないので不適。

ｂ＝５のとき
Ｎ^2＝１００ａ^2＋１００ａ＋２５で
１００ａ^2＋１００ａは１００の倍数なので下２桁に影響しません。
すなわちＮ^2の下２桁は２５となります。
ここで、Ｎ＝２５のときＮ^2＝６２５
これは題意を満たします。

ｂ＝６のとき
Ｎ^2＝１００ａ^2＋１２０ａ＋３６
＝１００ａ^2＋１００ａ＋２０ａ＋３６
１００ａ^2＋１００ａは１００の倍数なので
２０ａ＋３６の下２桁を考えればよいことになります。
ａ＝１，２，３・・・，９まで代入すると
２０ａ＋３６の値は
５６，７６，９６，１１６，１３６，１５６
１７６，１９６，２１６
その、下２桁は
１６，３６，５６，７６，９６の５通り
それぞれ２乗してみると
１６^2＝２５６
３６^2＝１２９６
５６^2＝３１３６
７６^2＝５７７６
９６^2＝９２１６
よって
Ｎ＝７６のときにＮ^2＝５７７６となって
題意を満たします。

Ｎ＝２５　または　Ｎ＝７６・・・（答）
あるいわ
（ａ，ｂ）＝（２，５）または（７，６）・・・（答）