質問＜２６８６＞２００５／１１／１１
from=flower
「証明」

どのような自然数nも、3で割り切れない自然数kと0以上の整数aを用いて、
3のa乗×ｋとかける。
このとき、ｆ（ｎ）＝aと定める。
たとえば、ｆ（1）＝0、ｆ（2）＝0、ｆ（3）＝1である。

次のことを証明せよ。
（1）自然数ｍ、ｎに対して、ｆ（ｍｎ）＝ｆ（ｍ）+ｆ（ｎ）が成り立つ。

（2）2以上の自然数ｎに対して、ｆ（ｎの3乗-ｎ）＞＝1が成り立つ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／２２
from=toshi

題意の言うことは、n=3^an * knと書けるということであり、
その指数部分を返す関数としてfが定義される。
よって、n=3^an * kn,m=3^am * kmと書けば
mn=3^(an+am)*kn*kmとなり、
ここでknとkmはそれぞれ3で割り切れないので、mnは
mn=3^amn *kmn と書けたことになる。
よって、amn=an+am ⇔f(mn)=f(m)+f(n)と書ける。

f(n^3-n)=f( n(n-1)(n+1) ) =f(n-1) + f(n) + f(n+1)
ここで、連続する3つの数のうち必ずどれかは3の倍数となる。
よって、その項は3*mという形で書ける。
ここでf(m)=3^am *kmで書けていたとするならば、f(3*m)=3^(am+1) *kmと書ける。
よって、三つの項のうち、少なくともひとつはam+1、すなわち1より大きい値を持つ。

以上よりf(n^3-n)≧1が証明される。

ただし、n=1のときはk=0とすることにより任意のaを取れるので考えない。
（もしくは自然数を1よりも大きい整数と定義する