質問＜２６４８＞２００５／１０／３０
from=みさ
「極大値」

こんにちは。わからない問題があったので教えてください。
宜しくおねがいします。

f(x)=4ax^3+3a(a-10)x^2-30a^2xの極大値をaで表せ。
ただしa＞0とする。

★希望★完全解答★

お返事２００５／１０／３０
from=武田

ｆ（ｘ）＝４ａｘ^3＋３ａ（ａ－１０）ｘ^2－３０（ａ^2）ｘ
微分して、
ｆ′（ｘ）＝１２ａｘ^2＋６ａ（ａ－１０）ｘ－３０ａ^2
極値を持つには、ｆ′（ｘ）＝０より、
１２ａｘ^2＋６ａ（ａ－１０）ｘ－３０ａ^2＝０
６ａ｛２ｘ^2＋（ａ－１０）ｘ－５ａ｝＝０
ａ＞０より、
２ｘ^2＋（ａ－１０）ｘ－５ａ＝０
（２ｘ＋ａ）（ｘ－５）＝０
∴ｘ＝－ａ／２，５
増減表（略）より、ｘ＝－ａ／２のとき極大値を持つので、
ｆ（－ａ／２）
＝４ａ（－ａ／２）^3＋３ａ（ａ－１０）（－ａ／２）^2－３０（ａ^2）（－ａ／２）

　　１　　　３
＝－―ａ^4＋―ａ^3（ａ－１０）＋１５ａ^3
　　２　　　４

　　１　　　３　　　１５
＝－―ａ^4＋―ａ^4－――ａ^3＋１５ａ^3
　　２　　　４　　　　２

　１　　　１５
＝―ａ^4＋―――ａ^3　……（答）
　４　　　　２