質問＜２６４２＞２００５／１０／２３
from=halloweenie
「数IIIです」

（１）x + cosx =0 の実数解の個数を求めよ。
（２）x^3-3ax+2=0の異なる実数解の個数を調べよ。ただしaは定数。
（３）x^3-ax+16=0が0以上3以下のxの範囲にある異なる２つの実数解をもつ
　　　ようにaの値の範囲を定めよ。

答えは順に
（１）１個
（２）a＜1のとき１個、a=1のとき２個、1＜aのとき３個
（３）12より大きく43/3以下
なのですが途中のやり方をできれば詳しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／３１
from=wakky

(1)
f(x)=x+cosx　とおくと
f'(x)=1-sinx≧0→単調増加（恒等的に0となる区間はない）
x→-∞のときf(x)→-∞、x→+∞のときf(x)→+∞だから
実数解は1個

(2)(3)は、微分して増減表を書いて、グラフの概形が書ける前提で回答します。
また、単純に与えられた方程式f(x)=0のf(x)を微分して、増減表を書くと
aの値の範囲の吟味が少々面倒になります。
この場合は、x=0が解に成り得ないことに着目して
aを定数として扱えるような工夫をします。
そのことで、x軸との交点の数＝解の個数と置き換えることができます。

(2)
x=0は解ではないので、与えられた方程式は
x^2+(2/x)-3a=0　と同値である。
f(x)=x^2+(2/x)-3a　と置くと
f'(x)=2(x-1)(x^2+x+1)/x^2
x^2+x+1={x+(1/2)}^2+3/4>0だから
f'(x)=0のときx=1
増減表（省略）からグラフ（省略）を書くと
x＜0で1つの解を持ち
x＞0では極小かつ最小値が3-3aであることが分かる。
3-3a＞0→a＜1→解は1個
3-3a=0→a=1→解は2個
3-3a＜0→a＞1→解は3個

(3)
(2)と同様にやります。
微分して増減表を書いてグラフの概形を書けば
x＜0に解1個
x＞0では極小かつ最小値f(2)=12-aであることが分かります。
x=0は解ではないので、0＜x≦3で考えればよいことになります。
この範囲に異なる2つの解を持つ条件は
12-a＜0　かつ　f(3)=(43/3)-a≧0
したがって
12＜a≦43/3　となります。