質問＜２６３５＞２００５／１０／１９
from=リム
「無限級数について」

（1+1/1^1)(1+1/2^2)・・・・（1+1/n^2)
ここでｎ→∞とするとこの上の式は収束するのでしょうか？
もし収束するのならどんな値になるか教えてください

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／２７
from=UnderBird

（1+1/1^1)(1+1/2^2)・・・・（1+1/n^2)=A(n)とおく
log（1+1/1^1)+log(1+1/2^2)+・・・・+log（1+1/n^2)=logA(n)
ここで、y=log(1+1/x^2)のグラフを描くと
∫[0,n]log{1+1/(x+1)^2}dx＜logA(n)＜log2+∫[1,n]log(1+1/x^2)dx
が成り立つ。
ここで、∫log(1+1/x^2)dx＝2arctan(x)-π+xlog(1+1/x^2)を用いて、
n→∞にすると ｛このとき、A(n)→Aとする｝
π/2≦logA≦π/2
よって、A=e^(π/2)

収束について先に議論するならば、
1/x^2とlog(1+1/x^2)で比較するのではないかな？
自信ないですが、こんな説明ではだめですか？