質問＜２５８８＞２００５／９／１７
from=hide
「微分　方程式・不等式への応用」

xの方程式２x３乗－３x２乗－１２x＋ｐ＝０が
異なる３実数解α、β、γ（α＜β＜γ）を持つとき、
次のそれぞれのとりうる範囲を求めよ
１．定数ｐ
２．解α、β、γ

お願いします

★希望★完全解答★

お便り２００５／９／１９
from=名無し

{2(x)^3}-{3(x)^2}-12x+p=0

Pを移項して
{2(x)^3}-{3(x)^2}-12x = -p

この左辺をf(x)とおくと、
f(x)={2(x)^3}-{3(x)^2}-12x のグラフは簡単に描くことができます。
この問題はここでグラフをかくのがポイントでしょう。
（f(x)=0を満たすx、つまりf(x)とｘ軸との交点は右辺をxでくくることで
求まりますし、微分すれば極値もすぐ出ます。）

このとき、f(x)=-p　を満たすxが３つあれば、題意を満たす解が求まります。

例えば、f(x)=0 を満たすxは３つ存在します。（グラフより自明）
じゃあf(x)=1 つまり p=-1 のときは…？f(x)=2は…？
とグラフを眺めていくと、
「f(x)=-p　を満たすｘ」が２つになるポイントが現れます。両極値がそれです。
つまり、両極値の間において題意を満たすxが存在します。
そうすれば、
　（極小値）＜-p＜（極大値）
⇔（極大値）＜-p＜（極小値）が（１）の解、
その時のグラフを見れば（２）ももとまります。
手元にペンがないので計算はしてません。ごめんなさい。

y=f(x) とy=-p との交点の数を求める、定番の問題でした。