質問＜２５５＞２０００／５／２１
from=みっぴー
「不等式の証明」

｜ｘ｜＜１，｜ｙ｜＜１，｜ｚ｜＜１のとき、証明せよ。
ｘｙｚ＋２＞ｘ＋ｙ＋ｚ

お返事２０００／５／２２
from=武田

｜ｘ｜＜１より、ｘ－１＜０
｜ｙ｜＜１より、ｙ－１＜０
ｘｙ＋１＞ｘ＋ｙを証明すると、
左辺ー右辺＝（ｘｙ＋１）－（ｘ＋ｙ）
　　　　　＝ｘｙ＋１－ｘ－ｙ
　　　　　＝ｘ（ｙ－１）－（ｙ－１）
　　　　　＝（ｙ－１）（ｘ－１）＞０
したがって、左辺＞右辺
ｘｙ＝Ｘとおくと、｜ｘ｜＜１，｜ｙ｜＜１より、｜Ｘ｜＝｜ｘ｜・｜ｙ｜＜１
これより、Ｘ－１＜０
｜ｚ｜＜１より、ｚ－１＜０
上の証明を利用すると、Ｘｚ＋１＞Ｘ＋ｚが成り立つ。
では、質問を証明してみよう。
左辺＝ｘｙｚ＋２＝Ｘｚ＋１＋１＞Ｘ＋ｚ＋１＝ｘｙ＋ｚ＋１
　　＝ｘｙ＋１＋ｚ＞ｘ＋ｙ＋ｚ＝右辺
したがって、左辺＞右辺

これは、参考書などに出てくる特別な解き方のようだ。