質問＜２５４＞２０００／５／１５
from=だいすけ
「複素数」

これは９８年センター試験です。

（問題がはっきりしないところがありましたので、河合塾のホームページに
９８年度の問題と解答を見に行ってきました。質問文に若干誤記がありまし
たので、訂正して掲載します。　武田）

この問題では、複素数の偏角はすべて０°以上３６０°未満とする。
α＝2√2(１＋ｉ)とし、等式│ｚ－α│=2を満たす複素数zを考える。
(1)zの中で絶対値が最大となるものは
　　　［ア］√［イ］（［ウ］＋ｉ）
　である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　β
(2)zの中で偏角が最大となるものをβとおくと、─　の
　　　　　√［エ］　　　　　　　　　　　　　α
　絶対値は────で、偏角は［カキ］°で
　　　　　　［オ］
　ある。また、
　　　　［ク］√［ケ］－√［コ］　［シ］√［ス］＋√［セ］
　　β＝────────────＋────────────ｉ
　　　　　　　　［サ］　　　　　　　　　　　［ソ］
　である。さらにβの偏角は［タチ］°である。
　１≦ｎ≦１００の範囲で、βn が実数になる整数ｎは［ツ］個
　ある。

お返事２０００／５／１７
from=武田

問１
ｚ＝ｘ＋ｙｉとすると、
ｚ－α＝（ｘ＋ｙｉ）－（２√２＋２√２ｉ）
　　　＝（ｘ－２√２）＋（ｙ－２√２）ｉ
｜ｚ－α｜＝２を２乗して、
（ｘ－２√２）2 ＋（ｙ－２√２）2 ＝４……①
ｚは、中心（２√２，２√２）半径２の円上にある。

｜ｚ｜が最大になるのは、ｚが点Ｐにくるときだから、
①の円と直線ｙ＝ｘの交点Ｐは、
２（ｘ－２√２）2 ＝４
ｘ－２√２＝±√２、∴ｘ＝√２，３√２
したがって、点Ｐ（３√２，３√２）
∴ｚ＝３√２＋３√２ｉ＝３√２（１＋ｉ）

問２
ｚの中で偏角が最大になるのは、①の円の接点Ｑだから、βは点Ｑにくる。

｜α｜＝４、argα＝４５°より、∠ＰＯＱ＝３０°より、｜β｜＝２√３
argβ＝４５°＋３０°＝７５°

｜β｜　｜β｜　２√３　√３
｜─｜＝───＝───＝──
｜α｜　｜α｜　　４　　　２

　　β
arg──＝argβ－argα＝７５°－４５°＝３０°
　　α

βを極形式で表現すると、
β＝２√３（cos７５°＋ｉsin７５°）
cos７５°＝cos（４５°＋３０°）＝cos４５°cos３０°－sin４５°sin３０°

　　　　　　１　　　√３　　１　　　１　　　√３－１　　√６－√２
　　　　 ＝───×───－───×──＝──────＝──────
　　　　　　√２　　　２　　√２　　２　　　２√２　　　　　４
sin７５°＝sin（４５°＋３０°）＝sin４５°cos３０°＋cos４５°sin３０°

　　　　　　１　　　√３　　１　　　１　　　√３＋１　　√６＋√２
　　　　 ＝───×───＋───×──＝──────＝──────
　　　　　　√２　　　２　　√２　　２　　　２√２　　　　　４
したがって、
　　　　　　√６－√２　√６＋√２
β＝２√３（─────＋─────ｉ）
　　　　　　　　４　　　　　４
　　√１８－√６　√１８＋√６
　＝──────＋──────ｉ
　　　　２　　　　　　　２
　　３√２－√６　３√２＋√６
　＝──────＋──────ｉ
　　　　　２　　　　　　２

argβ＝７５°＝５π／１２
argβn ＝ｎ×５π／１２より、ｎは１２の倍数であれば、
βn ＝（２√３）n （cos７５°ｎ＋ｉsin７５°ｎ）は
実数になるから、
１００÷１２＝８……４より、８個ある。
（答）ア　イ　ウ　エ　オ　カ　キ　ク　ケ　コ　サ　シ　ス　セ　ソ　タ　チ　ツ
　　　３　２　１　３　２　３　０　３　２　６　２　３　２　６　２　７　５　８