質問＜２５３３＞２００５／８／１８
from=解析学さん
「絶対値の積分」

次の定積分を教えてください。

Ｎｏ.１
∫｜Ｘ＾２－１｜ｄｘで積分区間が０→２

Ｎｏ.２
∫｜Ｘ＾２－ａ＾２｜ｄｘで積分区間が０→２
（０＜ａ＜２）を最小にするａの値を求めよ。

★希望★完全解答★

お返事２００５／８／１８
from=武田

（１）
∫_0^2｜Ｘ＾２－１｜ｄｘ
＝∫_0^1（－Ｘ＾２＋１）ｄｘ＋∫_1^2（Ｘ＾２－１）ｄｘ
＝［－Ｘ^3／３＋Ｘ］_0^1＋［Ｘ^3／３－Ｘ］_1^2
＝｛（－１／３＋１）－０｝＋｛（８／３－２）－（１／３－１）｝
＝２／３＋２／３＋２／３＝６／３＝２……（答）

（２）
０＜ａ＜２より、
Ｓ＝∫_0^2｜Ｘ＾２－ａ＾２｜ｄｘ
　＝∫_0^a（－Ｘ＾２＋ａ＾２）ｄｘ＋∫_a^2（Ｘ＾２－ａ＾２）ｄｘ
　＝［－Ｘ^3／３＋ａ^2・Ｘ］_0^a＋［Ｘ^3／３－ａ^2・Ｘ］_a^2
　＝｛（－ａ^3／３＋ａ^3）－０｝＋｛（８／３－２ａ^2）－（ａ^3／３－ａ^3）｝
　＝２ａ^3／３＋８／３－２ａ^2＋２ａ^3／３
　＝４／３・ａ^3－２・ａ^2＋８／３
微分して、
Ｓ′＝４ａ^2－４ａ
　　＝４ａ（ａ－１）
極値をもつのは、Ｓ′＝０より、
４ａ（ａ－１）＝０
∴ａ＝０，１
０＜ａ＜２より、
ａ＝１
Ｓ（１）＝２
Ｓ（０）＝８／３＞２
Ｓ（２）＝３２／３－８＋８／３＝１６／３＞２
したがって、
ａ＝１のとき最小値２をもつので、
ａ＝１……（答）