質問＜２４７＞２０００／４／１
from=かっち
「逆関数」

お久しぶりです。　「かっち」です。
今年も（！？）どうぞよろしくお願いします。
僕は、花粉症に悩まされて大変です。
武田さんは、大丈夫ですか？？
 
ところで、また分からない問題があったので、教えていただきたいと思
って、メールしました。
 
問題　：f(x) =2^x (←２のＸ乗）、g(x) =log4x (←底が４）
　　　、h(x) =x^2  （←Ｘの２乗）とするとき、
次の関数を求めよ。　また、その定義域を記せ。
１．f-1(x) (←f(x)の逆関数）
２．f-1{f(x)}  （←f(x)の逆関数のx　にf(x)を入れたもの）
３．f{f-1(x)}  (←f(x)のxにf(x)の逆関数をいれたもの）
４．ｇ｛f(x)}  （←g(x)のx　にf(x)を入れたもの）
５．ｈ［f { g(x)} ］　（←f(x)のx にg(x)を入れ、それを h(x) 
　　のx に入れたもの）
６．g-1［f-1{ h(x) } ］　　（←f(x)の逆関数のx にh(x) を入れ、
　　それをg(x)の逆関数のx に入れたもの）
※　定義域の決め方がよく分からないので、その辺を分かりやすく
書いていただけたらありがたいです。
 
 それでは、よろしくお願いします。
 

お返事２０００／４／３
from=武田

問
ｆ（ｘ）＝２x
ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ4ｘ
ｈ（ｘ）＝ｘ2
のとき、
ｆ-1（ｘ）＝ｌｏｇ2ｘ
ｇ-1（ｘ）＝４x

（１）ｆ-1（ｘ）＝ｌｏｇ2ｘ
　　　ｘは真数（対数記号ｌｏｇの後ろの底２の後ろを真数という）
　　　だから、定義域はｘ＞０……（答）

（２）ｆ-1｛ｆ（ｘ）｝＝ｌｏｇ2（２x）
　　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ2２
　　　　　　　　　　　＝ｘ
　　　だから、定義域はすべての実数……（答）

（３）　　　　　　　　　　log2x
　　　ｆ｛ｆ-1（ｘ）｝＝２　　　＝ｘ

　　　　　　　｜　　　log2x
　　　　　　　｜ｙ＝２　　　とおき、両辺に対数をとると、
　　　　　　　｜ｌｏｇ2ｙ＝ｌｏｇ2ｘ・ｌｏｇ2２
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ2ｘ・１
　　　　　　　｜したがって、ｙ＝ｘ
　　　したがって、定義域はｘ＞０……（答）

（４）ｇ｛ｆ（ｘ）｝＝ｌｏｇ4（２x）
　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ4２
　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ4４1/2
　　　　　　　　　　＝1/2・ｘｌｏｇ4４
　　　　　　　　　　＝ｘ／２
　　　だから、定義域はすべての実数……（答）

（５）　　　　　　　　　　　　　log4x
　　　ｈ［ｆ｛ｇ（ｘ）｝］＝（２　　　）2

　　　　　　　　　　　　　　　2log4x
　　　　　　　　　　　　　＝２

　　　　　　　　　　　　　　　log4x
　　　　　　　　　　　　　＝４
　　　　　　　　　　　　　＝ｘ
　　　だから、定義域はｘ＞０……（答）

（６）　　　　　　　　　　　　　log2(x2)
　　　ｇ-1［ｆ-1｛ｈ（ｘ）｝］＝４

　　　　　　　　　　　　　　　　　2log2x
　　　　　　　　　　　　　　　＝４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　log2x
　　　　　　　　　　　　　　　＝１６

　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ4

　　　　　　　｜　　　　log2x
　　　　　　　｜ｙ＝１６　　　とおき、両辺に対数をとると、
　　　　　　　｜ｌｏｇ2ｙ＝ｌｏｇ2ｘ・ｌｏｇ2１６
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ2ｘ・４
　　　　　　　｜　　　　　＝４ｌｏｇ2ｘ
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ2ｘ4
　　　　　　　｜したがって、ｙ＝ｘ4
　　　したがって、定義域はｘ≠０のすべての実数……（答）

（追伸）
折り返し、かっち君から再質問が来ました。
「定義域のことで、（１）は理解できるのですが、あとの５題の決め方
がわかりません。ある人に聞いたら、答えがＸになったからといって、
定義域が実数全体になるとは限らないということでした。（２）～（６）
の定義域を決める根拠みたいなやつを教えてください。お願いします。」

合成関数の最初の代入した形がヒントです。その状態で、成り立つため
のｘの範囲が定義域となります。
（２）はｌｏｇ2（２x）
　　　　　　　　^^^^←ｘはすべての実数が入る。

　　　　　log2x
（３）は２^^^^^^←ｘは正の実数のみ入る。

（４）はｌｏｇ4（２x）
　　　　　　　　^^^^←ｘはすべての実数が入る。

　　　　　　log4x
（５）は（２^^^^^^）2
　　　　　　　　←ｘは正の実数のみ入る。

　　　　　log2(x2)
（６）は４　　^^^^←ｘは０以外のすべての実数が入る。

最初の段階で分かるが、最後の式からは定義域は分かりませんね。