質問

x^96+x^95をx^4+x^3+x^2+x+1で割った余りを求めよ。

アプローチ１
f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1として
x^96+x^95
=x^92*f(x)-x^94-x^93-x^92
=x^92*f(x)-x^90*f(x)+x^91+x^90
という感じで力技で解いて余りをx+1とした。

アプローチ２
x*f(x)-f(x)=x^5-1
x~5=1
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
x^96+x^95
=f(x)q(x)+r(x)の余りr(x)は
r(x)=f(a), f(b), f(c), f(d)から
f(a)=a^96+a^95
a^5=1から
f(a)=(a^5)^19(a+a)=a+1

というように解いてみましたがどうやら間違えているようです。
よろしければ解法を教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１７
from=WU

x^96+x^95、x^4+x^3+x^2+x+1
まず、x^96+x^95をx^4+x^3+x^2+x+1で表すことを考えると定石の
　x^96+x^95＝Q_x(x^4+x^3+x^2+x+1)+Ax^3+Bx^2+Cx+D　
(A,B,C,Dは整数、Q_xは92次の多項式)　－(*)
を使います。
次にx^4+x^3+x^2+x+1を考えると、x^4+x^3+x^2+x+1=0とする、
複素数のことが思い浮かびます。するとこの方程式の解は
　x=cos(2π/5×n)+sin(2π/5×n)　(n=1,2,3,4,5)
という解となります(数B教科書の範囲に載っていると思います)。
そこで、(*)の式に戻りますが、x^96+x^95=x^95(x+1)です。
そこでx^95なんですが、先程の解x=cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)を代入すると
１になります。
　　(参考までに９５＝５×１９ですから
　　　　{cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)}^95
　　　＝{cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)}^5･19
　　　＝(cos2πn+isin2πn)^19
　　　＝cos2πn+isin2πn
　　　＝１　　　　∵数Bのド･モアブルの定理)
よって(*)の式にx=cos(2π/5×n)+sin(2π/5×n)を代入すると以下のように
変形できます。
　x+1＝Ax^+3Bx^2+Cx+D
(Q_x(x^4+x^3+x^2+x+1)=0　　
∵x=cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)x^4+x^3+x^2+x+1=0の解)
また、x+1＝Ax^3+Bx^2+Cx+Dに実際にx=cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)を代入して
整理する
(ここから下の計算は単位円を描いて、
x=cos(2π/5×n)+isin(2π/5×n)(n=1,2,3,4,5)
の点を視覚化すると分り易くなります)。
　cos2π/5=s sin2π/5=t cos(2π/5×2)=u sin(2π/5×2)=v
とすると、
　cos(2π/5×3)=u sin(2π/5×3)=-v cos(2π/5×4)=s sin(2π/5×4)=-t
であるから(単位円の図で確認すれば分ります)x+1＝Ax^+3Bx^2+Cx+Dは結局、
　1+s+it=A(-u+iv)+B(u+iv)+C(s+it)+D
(ここではn=1の時のみを代入していますが、n=1,2,3,4,のうち、
いづれを入れても大丈夫です)
この式を実数部分と虚数部分に別けると
　1+(1-C)s+(A-B)U-D+{t(1-C)-v(A+B)}i=0
あるから
　1+(1-C)s+(A-B)U+D=0 かつ t(1-C)-v(A+B)=0
ここで、s,t,u,vは0ではないことと、A,Bは有理数であることから(**)
　A-B=0 A+B=0 1-C=0 1-D=0　すなわち　A=B=0 C=D=1
となる。
(**)の説明としてはs,t,u,vは定義したようにcos2π/5等の数であるから、
0ではないのは良いでしょう。
また、A,Bは有理数という箇所ですが、(x^96+x^95)を(x^4+x^3+x^2+x+1)で割る、
という問題ですので、その余りとして決めた(Ax^+3Bx^2+Cx+D)の係数が無理数では
まずいということです
(無理数と有理数の意味は教科書などに書いてあると思います)。
従って、
　x^96+x^95＝Q_x(x^4+x^3+x^2+x+1)+x+1
となるので、求める余りは(x+1)です。
多項式の整除ということで多項式で解きました。
多分もっと簡便な方法があるような気もします。
誰かが示してくれるでしょう。
長くなりました。

お便り２００５／６／１７
from=KINO

2245の解答が参考になるかと思いますのでそちらをご覧下さい。