質問＜２３９３＞２００５／５／２９
from=yori
「二次関数」

aを定数とする．ただし、a＜4分の9とする．
放物線C:y＝－x二乗＋2ax－a二乗＋2a－1について、
(1)放物線Cの頂点Pの座標を求めよ．
(2)放物線Cと直線y＝－x＋4分の9が接するときaを求めよ．
(3)y＝｜x－4分の9｜のグラフをLとする．
放物線CとグラフLが接するとき、接点の座標Qを求めよ．
また、グラフLとx軸の共有点をRとする．
放物線Cとx軸は2点で交わるが、x座標が大きいほうの点をAとすると、
四角形APQRの面積は？

はじめまして！いきなりで不躾ではありますが、
この問題の解答をお願いできませんか？

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１５
from=ｙ

aを定数とする．ただし、a＜4分の9とする．
放物線C:y＝－x二乗＋2ax－a二乗＋2a－1について、
(1)放物線Cの頂点Pの座標を求めよ．

ｙ＝－(ｘ－ａ)２乗＋２ａ－１
よって、頂点Ｐ(ａ、２ａ－１)


(2)放物線Cと直線y＝－x＋4分の9が接するときaを求めよ．

　ｙ＝－ｘ＋9/4
　ｙ＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１
について、題意の時はこの２式が重解を持つことと必要十分な為
－ｘ＋9/4＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１が重解を持つ
⇔ｘ２乗－(２ａ＋１)ｘ＋ａ２乗－２ａ＋13/4が重解
⇔(２ａ＋１)２乗－４(－２ａ＋13/4)＝０
⇔ａ＝１


(3)y＝｜x－4分の9｜のグラフをLとする．
放物線CとグラフLが接するとき、接点の座標Qを求めよ．
また、グラフLとx軸の共有点をRとする．
放物線Cとx軸は2点で交わるが、x座標が大きいほうの点をAとすると、
四角形APQRの面積は？

a＜9/4であることを考えると、
ｙ＝ｘ－9/4(ｘ≧9/4)(y＝｜x－9/4｜のｘ≧9/4の時)と
ｙ＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１が題意の範囲で接することはない
(∵y＝｜x－9/4｜(ｘ≧9/4)、すなわちy＝x－9/4(ｘ≧9/4)がＣと接するとすると、
(２)と同様にするとａ＝-3/2を得て、その時接点は(-2,-17/4)となり、
ｘ≧9/4に対して不適。また、y＝｜x－9/4｜≧０を考えても反することが分る)
従って、y＝｜x－9/4｜とＣが接するときはｘ≦9/4の時である。
そこで(２)を考え合わせると、ａ＝１と分り、その接点は
　ｙ＝－ｘ＋9/4
　ｙ＝－ｘ二乗＋２ｘ
を連立させるとｘ＝3/2を得る為、接点Ｑは(3/2、3/4)となる。
また、ｙ＝－ｘ二乗＋２ｘとｘ軸との交点で大きい方はｘ＝２である。
そこで以上を整理すると
　Ａ(2,0)、Ｐ(1,1)、Ｑ(3/2,3/4)、Ｒ(9/4,0)
であり求める面積は三角形ＡＰＲとＰＱＲの和であるから
(ｘｙ平面での三角形の面積の公式などを使う)
　1/8＋3/32＝7/32