質問＜２３９４＞２００５／５／２９
from=城
「微分」

ｘ＾１／ｎを定義に従って微分してください！！

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１１
from=KINO

合成関数の微分法の公式の証明と同じ手法で示してみます。

y=x^(1/n), b=a^(1/n) とおくと，x=y^n, a=b^n なので
{x^(1/n)-a^(1/n)}/(x-a)=(y-b)/(y^n-b^n)
=1/{(y^n-b^n)/(y-b)}.
この分母は，y^n-b^n=(y-b){y^(n-1)+y^(n-2)b+...+yb^(n-2)+b^(n-1)} 
と因数分解できることから，
{x^(1/n)-a^(1/n)}/(x-a)=(y-b)/(y^n-b^n)
=1/{y^(n-1)+y^(n-2)b+...+yb^(n-2)+b^(n-1)}.
そして，x→a のとき y→b であるから，
lim[x→a]{x^(1/n)-a^(1/n)}/(x-a)=1/(b^(n-1)+b^(n-2)b+...+b^(n-1)}
=1/{n*b^(n-1)}=(1/n)*a^(1/n-1).