質問

わかり易い解説をお願いします！！

Ｑ１　実数係数の三次方程式２x^3＋ax^2＋bx－６＝０の一つの解が
　　　１＋ｉである。残りの解を求めよ。

Ｑ２　Ｘの方程式（２－Ｋ）Ｘ＾２＋４ＫＸ－（Ｋ＋１）＝０が
　　　正の実根をもつＫの範囲を求めよ。

Ｑ３　整式Ｆ（ｘ）を（Ｘ－２）で割ると５余り、（Ｘ＋１）で割ると
　　　２余る。Ｆ（ｘ）を（ｘ－２）（ｘ＋１）で割った余りを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２７
from=坂田

Q1) この3次方程式の解の一つは1+iという複素数ですね？
方程式の係数が実数であるためには、もう一つの解はこの複素共役で
なければなりません。なぜなら、解に1+iをもつということは、
この3次式を因数分解したときに

(x-(1+i))(x-c)(2x-d) 

の形になることを意味しているからです。これを展開したとき、
係数が実数になるには、c=1-iでなければなりません。これは

(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2 -2x +2　:　実数係数

となることからわかりますね。
あとは、係数比較から、a,b,dがそれぞれ-7,10,3と求まります。
従って、残りの解は

1-i,-3/2

です。

Q2) 式が煩雑になるので考え方だけ述べますね。
　　与えられた式をf(x)とすると、

 1) 正の実数解をもつことから(判別式)≧0
 2) f(0)≧0。この際、注意はkが2より大きいか
　　小さいかで場合分けを忘れないことです。
 3) 放物線の軸が、原点より右(正)に存在すること。

　　から範囲は定まります。これは典型問題なので、
　　もし理解できなければなにか参考書にあたると
　　良いと思います。

Q3) F(x)を(x-2)で割った余りが5であるので、
　　適当な関数G(x)を使って、
　　
　　F(x)=G(x)(x-2)+5

　　と表現できる。同様に適当な関数をH(x)として

　　F(x)=H(x)(x+1)+2

    これは関数F(x)が

　　F(2)=5,F(-1)=2 ･･･ (1)

    であることを表しています。
　
    さて、F(x)を(x+1)(x-2)で割った余りは大きくても
    1次式なので、余りをax+bとすると、
　　適当な関数I(x)を使って

　　F(x)=I(x)(x+1)(x-2)+ax+b

    とかけます。ここで条件(1)を使うと、a,bに対する
　　連立方程式が得られ、a=1,b=3となります。従って
　　余りは x+3 です。