質問

ある都市の人口x(万人)は時間t(年)の関数で、xの増加する速度は
その年の人口に比例し、平成m年にa万人であった人口が
平成n年にb万人になった。(0＜m＜n,0＜a＜b)

(1)平成t年の人口x(t)を表す式をつくれ。
(2)この都市の人口が平成1年に30万人、平成11年に36万人
　　であったとすれば平成21年の人口は何人になるか。

宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／６
from=亀田馬志

質問ばっかじゃ悪いんで(笑)。

＞ある都市の人口x(万人)は時間t(年)の関数で、

まずコレで

･ｘ＝f(t)

ってのが分かりますね。

＞xの増加する速度は

「速度」ってのは原則的に時間tに対するxの変化率を表してます。
変化率ってのは「単位時間内に対するｘの増減」、すなわち、

･xの単位時間毎の変化率＝{ｘ_(2)－ｘ_(1)}/{ｔ_(2)－ｔ(1)}　
(添え字1、2は任意、かつｘはｔの関数である事に留意。)
＝Δｘ/Δｔ

の事ですね。中学校で習う『平均の傾き』の事です。
これの極限値が単純に言うと『瞬間速度』＝『ｘのｔでの微分』って事に
なります。問題が微分方程式に付いてなんで当然ですよね(笑)。
ここでは『xの増加する速度』を

･dx/dt

と表記してみます。

＞xの増加する速度はその年の人口に比例し、

上で求めたdx/dtってのがxに比例してる、って言ってるワケです。簡単ですね。
ここでは適当な比例係数、kとでもしましょうか、を使って上の文章を
翻訳してみましょう。

･dx/dt＝ｋx･･･①

お終いです(笑)。簡単でしょ?
物理的にはこれで終わりとしたいんですが(笑)、ちょっと解き方を考察してみます。
数学的にはテキトーな解説なんですが(笑)。

この形式の微分方程式を『線形微分方程式』と呼びます。
『線形って何だ?』って解説は他の人が(多分)してくれると思うんで(笑)、
単純に『次の解き方で解ける微分方程式を線形微分方程式と言う』とでも
覚えてくれてればイイです。
と言うか、高校では(物理も含めて)『線形微分方程式』以外の問題って出ない
と思います。
まず予備知識として覚えておいて頂きたいのはd/dtってｘをハズした部分は
『まるで係数(定数)のように扱える』って約束事です。
この部分を『微分演算子』と呼びます。ちょっと厳めしい呼び方ですが、
要するに『演算子』ってのは『ある計算の約束事を表した文字(書き方)』って
意味ですね。大した意味じゃないです。

そこで①を次のようにして見てみましょう。

･dx/dt－ｋx＝０･･･②

両方ともｘが入ってるんで、何か括弧で括りたくなって来たでしょう?
括りたいですね?誘惑には勝てない主義なんで(笑)、括弧で括っちゃいます。

･(d/dx－k)ｘ＝０

実はほぼコレで『解法』としてはお終いなんです。
ここで示唆されてる事、ってのは『ｄ/ｄｘって計算の約束事はkである』って
ちょっと意味が分からない事です(笑)。これは一体何でしょうね?
実はこの方程式の形、ってのはある種基礎型で、このd/dt－k＝０のスタイルって
のが常にある関数を導き出す、ってれっきとした事実があるんです。
それはネピア数eの指数関数を示唆していて、
積分定数をAとした次の指数関数が常に『一般解(もしくは部分解)』である、
って事です。

･ｘ＝Ae^(ｋｔ)･･･③

数学的にはかなり端折ったんですが(笑)、これを覚えていさえすれば、
少なくとも『線形微分方程式』だったら2階だろうが3階だろうが全部解けます。
全部『因数分解の問題』に持ち込んで、アトは独立変数の係数が何なのかさえ
分かればイイ、って事です。

(1)いわゆる『初期条件』の問題です。
一般解③に与えられた条件(平成m年にa万人であった人口が平成n年にb万人に
なった)を代入してこちらで勝手に決めた積分定数Aと係数kを書き換えるのが
この問題の主眼です。
つまり、

･Ae^(mk)＝a…④
･Ae^(nk)＝b…⑤

と言う連立方程式を解けばイイ……んですが、メンド臭そうですね(笑)。
しょうがないんで、両辺ネピア数eを底とした対数(ln)でも取ってみましょうか?

･ln|Ae^(mk)|＝ln|a|･･･④'
･ln|Ae^(nk)|＝ln|b|･･･⑤'

ここでln|xy|＝ln|x|＋ln|y|ってのはご存知ですよね?
よってまたもや書き換えます

･ln|A|＋mk＝ln|a|･･･④''
･ln|A|＋nk＝ln|b|･･･⑤''

となります。ここでln|e^(mk)|＝mkになるのはイイですか?nkも同じです。
さて、ここまで来たんで、調子に乗って行列化したいと思います。
ちょっと見づらいですが、

(1　m)(ln|A|)　(ln|a|)
(1　n)(　k　)＝(ln|b|)......⑥

ここでやっとAX＝Yのカタチに持ち込めましたんで、このまま解きたいと思います。
『クラメールの公式』ってのを使います。知ってますかね?知らなければ
･･･多分『行列』の項目に書いてあるんじゃないかしら?取りあえず解説長くなるんで、
分からなかったらアトで質問して下さい。
クラメールの公式より解は次のようになります。

･ln|A|＝ln|(a^n/b^m)^{1/(n-m)}|･･･⑦
･ｋ＝ln|b/a|/(n-m)･･･⑧

⑦の方はlnハズせますね。よって、ココで求められたAとkの値を③の一般解に
代入して作業は終わりです。
解は(計算間違いさえしてなければ)次のようになるハズです。

･ｘ＝[(a^n/b^m)^{1/(n－m)}]*[(b/a)^{t/(n－m)}]

ややこしい解ですね(苦笑)。どなたか検算お願いします(笑)。

(2)基本的に(1)の解に実値を代入してみろ、って問題ですね。
m＝1、a＝30万、n＝11、ｂ＝36万って事です。
手算じゃメンド臭いんで、エクセル君の力を借りてみます。(笑)。

･A＝(a^n/b^m)^{1/(n-m)}
　＝(30万^11/36万^1)^{1/(11-1)}
　＝294579.9

･b/a＝36万÷30万
　　＝1.2

･n－m＝11－1
　　　＝10

これでパーツとしては充分でしょう。ｘは

･ｘ＝294579.9×1.2＾(t/10)

となります。ここにt＝21を代入すればイイワケです。

･ｘ＝294579.9×1.2＾(21/10)
　　＝43万2千人

以上です。
読みづらくってすいません。