質問＜２２５５＞２００５／３／２９
from=パク
「因数分解らしいのですが」

(1)x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
(2)xy^2-2xyz+xz^2+yz^2+y^2z-yz^2
(3)x^6-7x^3-8

これらが全く分かりません。教えていただけませんか？

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２
from=KINO

(1) x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)
=(x^4+x^2+1)(x+1)
ここで，X=x^2 とおくと
x^4+x^2+1=X^2+X+1=(X^2+2X+1)-X=(X+1)^2-X
=(X+1)^2-x^2={(X+1)-x}{(X+1)+x}=(x^2-x+1)(x^2+x+1)
x^2±x+1 は，=0 とおいた2次方程式の判別式が負になるので
実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。
ということで，答えは
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

(2) 問題が変な気がします。
yz^2 と -yz^2 があるので，これらは打ち消しあって
xy^2-2xyz+xz^2+yz^2+y^2z-yz^2=xy^2-2xyz+xz^2+y^2z
となってしまいます。
正しい問題はどういったものだったのでしょうか？

(3) X=x^3 とおくと，
x^6-7x^3-8=X^2-7X-8=(X+1)(X-8)
=(x^3+1)(x^3-8)=(x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4).