質問＜２１６１＞２００５／１／１４
from=叶野兄弟
「行列」

正方行列A,Bにおいて、行列AはE+Aが逆行列を持つものとする。
また、行列BをB=（E-A)(E+A)^-1とおく。
Eを単位行列とするとき、
（１）E+Bは逆行列をもつことを示せ。
（２）(E-B)(E+B)^-1=Aが成り立つことを示せ。

教えてください。よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／１５
from=wakky

（１）
Ｅ＋Ｂ
＝Ｅ＋（Ｅ－Ａ）（Ｅ＋Ａ）^-1
＝Ｅ＋（Ｅ＋Ａ）^-1－Ａ（Ｅ＋Ａ）^-1
両辺にＥ＋Ａをかけると
（Ｅ＋Ｂ）（Ｅ＋Ａ）
＝（Ｅ＋Ａ）＋Ｅ－Ａ
＝２Ｅ
よって
（１／２）（Ｅ＋Ａ）はＥ＋Ｂの逆行列である。

（２）
２（Ｅ－Ｂ）（Ｅ＋Ｂ）^-1
＝（Ｅ－Ｂ）（Ｅ＋Ａ）
＝｛Ｅ－（Ｅ－Ａ）（Ｅ＋Ａ）^-1｝（Ｅ＋Ａ）
＝（Ｅ＋Ａ）－（Ｅ－Ａ）
＝２Ａ
よって
（Ｅ－Ｂ）（Ｅ＋Ｂ）^-1＝Ａ