質問＜２１６０＞２００５／１／１４
from=叶野兄弟
「曲線」

曲線
ｘ＝√２ cos^2 θ
ｙ＝sin^3 θ
(0≦θ≦π/2)
について、次の問いに答えよ。
（１）原点０とこの曲線上の点Pとの距離OPを最小にするPの座標を求めよ。
（２）この曲線とｘ軸、ｙ軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／１５
from=wakky

計算は確かめていません。
違ってたらすみません。

（１）
点Ｐ（ｘ，ｙ）とすると
ＯＰ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
      ＝２ｃｏｓ^4θ＋ｓｉｎ^6θ
ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ^4θ＋ｓｉｎ^6θとおくと
ｆ’（ｘ）＝ｓｉｎθｃｏｓθ（２ｓｉｎ^2θ＋４）（３ｓｉｎ^2－２）
０≦θ≦π／２より
ｆ’（θ）＝０のとき
θ＝０，α，π／２
ただし、０≦θ≦π／２でｓｉｎ^2α＝２／３
ｆ（０）＝２
ｆ（α）＝５／９
ｆ（π／２）＝１
よって次の増減表を得る。

   θ      ０         α          π／２
ｆ’（θ）  ０   －    ０     ＋     ０
 ｆ（θ）   ２   減  ５／９   増     １

よってθ＝αのときＯＰ^2は最小、すなわちＯＰは最小となる。
このとき
ｘ＝√２／３
ｙ＝２√６／９
よって点Ｐの座標は
（√２／３，２√６／９）・・・答

（２）
ｙ＝ｆ（ｘ）とすると
まずどんなグラフになるでしょうか？
ｄｘ／ｄθ＝－２√２ｓｉｎθｃｏｓθ
ｄｙ／ｄθ＝３ｓｉｎ^2θｃｏｓθ
∴ｙ’＝（－３√２／４）ｓｉｎθ
０≦θ≦π／２より
ｙ’≦０となりｙは減少関数。
ｘ＝０（θ＝π／２）のときｙ＝１
ｘ＝√２（θ＝０）のときｙ＝０
よって
０≦ｘ≦√２の範囲で、ｙ≧０
以上から
求める面積をＳとすると
Ｓ＝∫（０～√２）ｙｄｘ
  ＝－２√２∫（π／２～０）ｓｉｎ^3（ｓｉｎθｃｏｓθ）ｄθ
  ＝２√２∫（０～π／２）ｓｉｎ^3（ｓｉｎθｃｏｓθ）ｄθ
ここでｓｉｎθ＝ｔとして置換積分すると
Ｓ＝２√２∫（０～１）ｔ^4ｄｔ
  ＝２√２［ｔ^5／５］（０～１）
  ＝２√２／５・・・答