質問＜２０７８＞２００４／１１／２０
from=ＡＭＥ
「方程式の実数解」

ｘについての方程式 x＾2+2x-3=m(x-k) が、すべての実数ｍに対して実数解を
もつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／２７
from=風あざみ

x^2+2x-3=m(x-k)を整理すると
x^2+(2-m)x+mk-3=0…(1)
(1)が実数解を持つので、x^2+(2-m)x+mk-3=0の判別式D_1は
D_1=(2-m)^2-4(mk-3)=m^2-4(k+1)m+16≧0…(2)
となる。任意の実数mに対して(2)が成り立つので
m^2-4(k+1)m+16=0の判別式D_2は
D_2=16(k+1)^2-64≦0…(3)
となる。
(3)を解くと-3≦k≦1となる。

お便り２００４／１１／２７
from=wakky

与式を整理して
ｘ^2＋（２－ｍ）ｘ＋ｍｋ－３＝０
実数解をもつから
この二次方程式の判別式をＤとすると
Ｄ≧０だから
（２－ｍ）^2－４（ｍｋ－３）≧０
整理して
ｍ^2－４（ｋ＋１）ｍ＋１６≧０
平方完成して
｛ｍ－２（ｋ＋１）｝^2－４（ｋ＋１）^2－１６≧０
よって
－４（ｋ＋１）^2－１６≧０
整理して不等式を解くと
－３≦ｋ≦１

平方完成のところは
ｍの二次方程式の判別式≦０でもいいですね。