質問＜２０６＞２０００／１／２
from=masa
「2次方程式」

　kを実数とするxの方程式(x2+x)2+k(x2+x)+1=0・・・①
(1) xが実数であるとき、x2+xのとり得る値の範囲。
(2)　方程式①が実数解をもつようなkの値の範囲。

お返事２０００／１／４
from=武田

問１
（ｘ2＋ｘ）2＋ｋ（ｘ2＋ｘ）＋１＝０
ｘ2＋ｘ＝ｙとおくと、
ｙ2＋ｋｙ＋１＝０
なお、
ｙ＝ｘ2＋ｘ
　＝（ｘ2＋ｘ＋１／４）－１／４
　＝（ｘ＋１／２）2－１／４
頂点（－１／２，－１／４）の放物線となる。

ｘがすべての実数のとき、ｙ≧－１／４となる。
したがって、
ｘ2＋ｘ≧－１／４……（答）

問２
ｙ≧－１／４のとき
ｙ2＋ｋｙ＋１＝０が実数解になるのは、
判別式Ｄ＝ｋ2－４≧０
∴ｋ≦－２，２≦ｋ

解の公式より、大きい方の解αが－１／４より大きいことが
必要だから
－ｋ＋√（ｋ2－４）　　１
─────────≧－─
　　　　２　　　　　　４
－２ｋ＋２√（ｋ2－４）≧－１
２√（ｋ2－４）≧２ｋ－１
（ｉ）２≦ｋのとき
　　　２ｋ－１≧３＞０より
　　　２乗して
　　　４（ｋ2－４）≧４ｋ2－４ｋ＋１
　　　－１６≧－４ｋ＋１
　　　４ｋ≧１７
　　　∴ｋ≧１７／４
（ii）ｋ≦－２のとき
　　　２ｋ－１≦－５より
　　　（ア）２√（ｋ2－４）＞５ならば
　　　　　　２乗して
　　　　　　４（ｋ2－４）≧４ｋ2－４ｋ＋１
　　　　　　－１６≧－４ｋ＋１
　　　　　　４ｋ≧１７
　　　　　　ｋ≧１７／４
　　　　　　ｋ≦－２に反するので、答とはならない。
　　　（イ）２√（ｋ2－４）≦５ならば
　　　　　　２乗して
　　　　　　４（ｋ2－４）≦４ｋ2－４ｋ＋１
　　　　　　－１６≦－４ｋ＋１
　　　　　　４ｋ≦１７
　　　　　　ｋ≦１７／４……①
　　　　　　また、
　　　　　　２√（ｋ2－４）≦５を２乗して
　　　　　　４（ｋ2－４）≦２５
　　　　　　４ｋ2－１６－２５≦０
　　　　　　４ｋ2－４１≦０
　　　　　　－√４１／２≦ｋ≦√４１／２……②
　　　　　　①と②とｋ≦－２より、
　　　　　　∴－√４１／２≦ｋ≦－２
したがって、
－√４１／２≦ｋ≦－２、１７／４≦ｋ……（答）