質問＜２０７＞２０００／１／２
from=masa
「曲線と直線」

(1) 2つの円x2+y2=1,x2+y2-6x+8y+k=0が共有点をもつとき、
　　kがとり得る値の範囲。
(2) 円(x-a)2+y2=b2は直線y=x-4に接し、かつ円x2+y2=4に
　　外接する。このとき、正の定数a、bの値。

お返事２０００／１／４
from=武田

問１

円ｘ2＋ｙ2－６ｘ＋８ｙ＋ｋ＝０
（ｘ2－６ｘ）＋（ｙ2＋８ｙ）＝－ｋ
（ｘ2－６ｘ＋９）＋（ｙ2＋８ｙ＋１６）＝－ｋ＋９＋１６
（ｘ－３）2＋（ｙ＋４）2＝２５－ｋ
中心（３，－４）半径√（２５－ｋ）の円
２つの円の中心の距離は
√｛（３）2＋（－４）2｝＝５
２つの円が共有点を持つには
外接的に考えて、半径の和が
１＋√（２５－ｋ）≧５……①
内接的に考えて、半径の差が
√（２５－ｋ）－１≦５……②
①と②より
４≦√（２５－ｋ）≦６
２乗して
１６≦２５－ｋ≦３６
－９≦－ｋ≦１１
∴９≧ｋ≧－１１……（答）

問２

ａ＞０、ｂ＞０より
円（ｘ－ａ）2＋ｙ2＝ｂ2は
中心（ａ，０）半径ｂの円となる。
２つの円の距離は
ａ＝ｂ＋２……①
円と接線ｙ＝ｘ－４の距離はｂだから、
点と直線の距離の公式より
ｘ－ｙ－４＝０と点（ａ，０）との距離だから
｜ａ－０－４｜
───────＝ｂ
√{(1)2＋(-1)2｝
｜ａ－４｜＝ｂ√２……②
①と②より
（ｉ）ａ≧４のとき
　　　ａ－４＝ｂ√２
　　　（ｂ＋２）－４＝ｂ√２
　　　ｂ－２＝ｂ√２
　　　（１－√２）ｂ＝２
　　　ｂ＝２／（１－√２）
　　　ｂ＜０となるので、条件に反する。
（ii）ａ＜４のとき
　　　－ａ＋４＝ｂ√２
　　　－（ｂ＋２）＋４＝ｂ√２
　　　－ｂ＋２＝ｂ√２
　　　（１＋√２）ｂ＝２
　　　ｂ＝２／（１＋√２）
　　　ｂ＞０より、条件に適している。
　　　したがって、
　　　ａ＝ｂ＋２
　　　　＝（４＋２√２）／（１＋√２）
したがって、
　　（４＋２√２）　　　　　　２
ａ＝───────　、ｂ＝──────　……（答）
　　（１＋√２）　　　　　（１＋√２）