質問＜２０２＞９９／１２／２１
from=Miyuki
「2次関数」

先生はじめまして。
高校時代に数学をきちんと勉強していなくて、
困っている文系学部の大学生です。

さっそく質問させていただきますが、
2次関数y＝ax[の2乗]＋bx＋cをのグラフを描くとき、
y＝a(x－p)[の2乗]＋qに変形して描くわけですが、
このパターンの場合は、
x[の2乗]の係数が＋なら、下に凸のグラフ、
x[の2乗]の係数が－なら、上に凸のグラフになりますよね。
ここで質問なのですが、
y＝ax[の2乗]＋bx＋cは、必ずy＝a(x－p)[の2乗]＋qに変形で
きるのでしょうか？
また、たとえばy＝ax[の2乗]＋bx＋cの一種である、
y＝{－x[の2乗]＋(a－b)x}／(c＋d)というような形でも
x[の2乗]の係数の符号だけ見て、
上記のパターンのように、グラフが上に凸か下に凸か決めて
よいのでしょうか？

お返事９９／１２／２１
from=武田

ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ
ｘ＝Ｘ－ｐとおくと、
ｙ＝ａ（Ｘ－ｐ）2＋ｂ（Ｘ－ｐ）＋ｃ
　＝ａＸ2－２ａｐＸ＋ａｐ2＋ｂＸ－ｂｐ＋ｃ
　＝ａＸ2＋（ｂ－２ａｐ）Ｘ＋（ａｐ2－ｂｐ＋ｃ）
Ｘの係数（ｂ－２ａｐ）が０となるようなｐの値を探すと、
ｂ－２ａｐ＝０∴ｐ＝ｂ／２ａ
ｘ＝Ｘ－ｐより、
ｘ＝Ｘ－ｂ／２ａ
したがって、
Ｘ＝ｘ＋ｂ／２ａ
Ｘに代入すると、
ｙ＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2＋（ｂ2／４ａ－ｂ2／２ａ＋ｃ）
　＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）2＋（４ａｃ－ｂ2）／４ａ
したがって、
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）2＋ｑ　型と必ず変形できる。

また、
　　　－x2＋(a－b)x
ｙ＝───────────　は（ｃ＋ｄ）が正であれば
　　　　（ｃ＋ｄ）
マイナスの符号より、上に凸のグラフとなる。