質問

二次関数ｙ＝ｘ２乗＋ａx＋ｂにおいて、
ｘの任意の値に対するｙの最小値は４である。
このとき、－１/２≦ｘ≦１/２の範囲でｙの最小値が６
になるためのａの値を求めよ。

わかりません。教えてください

お便り２００４／５／９
from=BossF

おさわがせしました、ＢｏｓｓＦこと　二木 史人 ともうします。
 
前半の
「二次関数ｙ＝ｘ２乗＋ａx＋ｂにおいて、
ｘの任意の値に対するｙの最小値は４である。」
は、graphの頂点のy座標が4であることを示しますから
 
y=(x-a/2)^2+4  とできます

後半の
「-1/2≦ｘ≦1/2の範囲でｙの最小値が６になる」
は 
軸≦-1/2 →　ｆ(-1/2)=6
1/2≦軸　→　f(1/2)=6  を示しますから
 
i) 軸；x=-a/2≦-1/2 すなわち a≧1 のとき
　ｆ(-1/2)=(-1/2-a/2)^2+4=(a+1)^2/4+4=6
    ∴a=-1+2√2　（-1-2√2は不適)
 
ii) 軸；x=-a/2≧1/2 すなわち a≦-1 のとき
   ｆ(1/2)=(1/2-a/2)^2+4=(a-1)^2/4+4=6
    ∴a=1-2√2　　（1-2√2は不適)
 
よって　a=±(1-2√2) …答

お便り２００４／５／１０
from=phaos

y = (x + a/2)^2 + b - a^2/4
だから
x = -a/2 の時最小値 b - a^2/4 = 4.
つまり b = a^2/4 + 4 … (ア)

グラフを考えて,
i) -a/2 ＜ -1/2 (即ち a > 1) の時
x = -1/2 の時最小で, このとき y = 1/4 - a/2 + b = 6.
(ア) を代入して整理すると a^2 - 2a - 7 = 0.
a = 1 ± 2√2 だが, a > 1 より a = 1 + 2√2.

ii) -a/2 > 1/2 (即ち a ＜ -1) の時
x = 1/2 の時最小で, このとき y = 1/4 + a/2 + b = 6.
(ア) を代入して整理すると a^2 + 2a - 7 = 0.
a = -1 ± 2√2 だが, a ＜ -1 より a = -1 - 2√2.

以上より a = ±(1 + 2√2).

お便り２００４／５／１０
from=wakky

グラフにするとより理解しやすいのでしょうけど・・
直線y=4に頂点が接している下に凸の放物線が、
左右に移動するというイメージです。
頂点のy座標は常に4なので、
あとは、頂点のx座標が動いた時に、
-1/2≦x≦1/2のとき最小値がどうなるかを考えればいいと思います。

回答

y=f(x)とおくと
y={x+(1/2)a}^2-(1/4)a^2+b
最小値は4だから　-(1/4)a^2+b=4 より

b=(1/4)a^2+4・・・①

-(1/2)a≦1/2 すなわち　a≧1 のとき
頂点のx座標はx=-1/2より左側にあるから
y=f(x)は-1/2≦x≦1/2においては、x=-1/2のとき最小となる。
その最小値が6だから
f(-1/2)=-(1/2)a+b+(1/4)=6・・・②
①と②から
a^2-2a-7=0 より　a=1±2√2
a≧1より　a=1+2√2

-1/2＜-(1/2)a＜1/2 すなわち　-1＜a＜1 のとき
この場合は条件より最小値は4であり6にはならない。

-(1/2)a≧1/2　すなわち　a≦-1　のとき
頂点のx座標はx=1/2より右側にあるから
y=f(x)は-1/2≦x≦1/2においては、x=1/2のとき最小となる。
f(1/2)=(1/2)a+b+(1/4)=6・・・③
①と③から
a^2+2a-7=0 より　a=-1±2√2
a≦-1より　a=-1-2√2

以上より　a=±(1+2√2)