質問

x＾3+y＾3+z＾3-3xyz

を因数分解したいのですが出来ません
どうすればいいのですか？
教えてください

お返事２００４／５／８
from=武田

これは公式です。公式を作った人が（ｘ＋ｙ＋ｚ）で割り算を
したところ、次のように割り切れたので、公式になったのでしょう。
（ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３ｘｙｚ）÷（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）

したがって、この公式を暗記し、いろいろな応用に利用してください。
ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）
＝（１／２）（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛（ｘ－ｙ）^2＋（ｙ－ｚ）^2＋（ｚ－ｘ）^2｝

お便り２００４／５／９
from=wakky

武田先生のおっしゃるとおりこれは公式として覚えた方がいいでしょう。
しかし、あまじゃくな私としては、「どうしてそういう公式になるの？」
という疑問に答えたいという気持ちがムラムラとわいてきました（笑
高校数学には、公式をきちんと証明して使えるものもあれば、
連続関数の定義のように、高校の範囲では十分な証明ができないものあるので、
数学教師のみなさんは色々お悩みのことと思います。
かといって私も大学の数学は忘れてますが・・・イメージだけで・・・
私は40代半ばにさしかかり、再び数学で遊んでみようと考えているふとどきもの
ですが（笑）この公式の解法もちょっと遊び心でやってみました・・・
時間はそうかかりませんでしたが、「こんなことやるならやっぱり公式として
覚えた方が早いや・・・」となることと思います（笑）でも「どうして？」って
ことはとても大切なことです。

解答
(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+y)+6xyz
したがって
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3yz(y+z)-3zx(z+y)-9xyz
=(x+y+z)^3-3{xy(x+y)+xyz+yz(y+z)+xyz+zx(z+y)+xyz}
=(x+y+z)^3-3{xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+zx(x+y+z)}
【x+y+zでくくって】
=(x+y+z){(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)}
【(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) を利用して】
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

こんなこと試験の本番でやってられませんねぇ（笑）
もっとエレガントな解法があればどなたかアドバイスをお願いします。

お便り２００４／５／１０
from=kyukusu

 (a^3+b^3)+c^3-3abc={(a+b)^3-3ab(a+b)}+c^3-3abc
={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b)^2-(a+b)c+c^2}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab}
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
という具合に因数分解すると高校時代に習った記憶があります。参考までに。