質問＜１６３０＞２００４／３／１５
from=☆数学苦てっ子☆
「因数分解」

＝例題3＝　因数分解
(1)3x^2－4y^2＋4xy－8x＋8y－3
(2)(x－1)(x＋1)(x＋4)(x＋6)－24
(3)x^2(y－z)＋y^2(z－x)＋z^2(x－y)

これらの因数分解の問題の解き方を教えてください。
どれも大学に出た問題なので、どう解けば下の答えが導く事ができるのか
迷ってます。とても解法が気になるので、教えてください。
お返事、待ってます。

*因みに、
上の問題の答えは、
(1)(x＋2y－3)(3x－2y＋1)　(2)(x＋2)(x＋3)(x^2＋5x－8)　
(3)－(x－y)(y－z)(z－x)です。

お便り２００４／３／１６
from=naoya

(1)3x^2-4y^2＋4xy-8x＋8y－3     まずxの二次式と見て降べきの順に整理
  =3x^2+(4y-8)x-4y^2+8y-3       残ったyの二次式を因数分解
  =3x^2+(4y-8)x+(-2y+1)(2y-3)   たすきがけ。3(2y-3)+1(-2y+1)=4y-8なので…
  =(3x-2y+1)(x+2y-3)            完成

(2)(x-1)(x+1)(x+4)(x+6)-24      式を見て、(x^2+5x)が出てくるように工夫
  =(x-1)(x+6)×(x+1)(x+4)-24    部分的に展開
  =(x^2+5x-6)(x^2+5x+4)-24      (x^2+5x)=Xとおくと、(X-6)(X+4)-24の因数分解
  =(x^2+5x)^2-2(x^2+5x)-48      展開すると、X^2-2X-48これを因数分解
  =(x^2+5x-8)(x^2+5x+6)         (X-8)(X+6)となる。Xをもとにもどして考えて…
  =(x^2+5x-8)(x+2)(x+3)         さらに因数分解して完成

(3)x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)   まずzについて整理する
  =-(x^2-y^2)z+(x-y)z^2+xy(x-y) 共通因数(x-y)でくくる
  =(x-y){-(x+y)z+z^2+xy}        右側の項z^2-(x+y)z+xyを因数分解して…
  =(x-y)(z-x)(z-y)              マイナスを括り出して(z-y)=-(y-z)
  =-(x-y)(y-z)(z-x)             完成

因数分解は、
・共通因数を見つけ、くくり出す
・1文字(特に、次数の低い文字)について整理
・たすきがけを利用する
・まとめて考えられるところは、まとめてしまう
・対称式や交代式を見つけて変形する
などを常に頭において考えると、うまくいくようです。

お便り２００４／３／１７
from=wowow

一般にx^4+1やx^3+y^3+z^3-3xyzなどの特殊な形以外では
①　共通因数で括り出す
②　任意の一文字についてまとめる
③　たすき掛けを考える
④　①～③の優先順位に従って、各段階で何れかが出来る
　　ときは実行する
と言う操作が基本となります

(1)3x^2-4y^2+4xy-8x+8y-3
  =3x^2+(4y-8)x-(4y-8y+3)
  =3x^2+4(y-2)x-(2y-3)(2y-1)
  =(x+2y-3)(3x-2y+1)

(2)[整式の積が含まれているときは、整式の一部(この場合
　　x^2+5x)を一字に見なすことが出来るように展開するこ
　　とが原則となります。]
   (x-1)(x+1)(x+4)(x+6)-24
  ={(x-1)(x+6)}{(x+1)(x+4)}-24
  =(x^2+5x-6)(x^2+5x+4)-24
  =(x^2+5x)^2-2(x^2+5x)-48
  =(x^2+5x+6)(x^2+5x-8)
  =(x+2)(x+3)(x^2+5x-8)

(3)x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)
  =(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2
  =(y-z)x^2-(y-z)(y+z)x+yz(y-z)
  =(y-z){x^2-(y+z)x+yz}
  =(y-z)(x-y)(x-z)
  =-(x-y)(y-z)(z-x)

お便り２００４／３／１７
from=wakky

(1)3x^2－4y^2＋4xy－8x＋8y－3
xの二次式と考えます。
 3x^2+(4y-8)x-4y^2+8y-3
=3x^2+(4y-8)x-(2y-3)(2y-1)
これにたすきがけをうまく使って
(x+2y-3)(3x-2y+1)となります。

(2)(x－1)(x＋1)(x＋4)(x＋6)－24
順番をちょっと変えて
 (x-1)(x+6)(x+1)(x+4)-24
=(x^2+5x-6)(x^2+5x+4)-24
ここでx^2+5x=tと置くとあとは簡単
地道に計算して
(t+6)(t-8)
元に戻してさらに因数分解すると
(x＋2)(x＋3)(x^2＋5x－8)

(3)x^2(y－z)＋y^2(z－x)＋z^2(x－y)
これもxの二次式に整理して
(y-z)x^2+(z^2-y^2)x+y^2z-yz^2
=(y-z)x^2+(z+y)(z-y)x+yz(y-z)
=(y-z){x^2-(y+z)x+yz}
=(y-z)(x-y)(x-z)
=-(x-y)(y-z)(z-x)