質問＜１５７１＞２００４／１／２６
from=inoue
「どんな三角形？」

A(α）、B（β）、C（γ）において、

（βーα）/(γーα)＝√２（1＋i)
の時三角形ABCはどんな三角形か？

（※ルートは２にだけかかってます）

文型の私にはちょっと手ごわいです；；

お便り２００４／２／１
from=wakky

正三角形、二等辺三角形、直角三角形などのきれいな答えにならないので、
まったく自信ありませんが頑張ってみました（笑）
間違っていたらどなたか修正してください（笑）

解答

A(α),B(β),C(γ)の三点を-αだけ並行移動してみます。
つまり、A'(α-α)=O（原点）,B'(β-α),C'(γ-α)となります。
ここで、(β-α)/(γ-α)＝√2(1＋i)より
(β-α)/(γ-α)=√2・√2(1/√2+i・1/√2)
=2(cos45°+ i・sin45°)となります。
両辺にγ-αをかけて
(β-α)=2(γ-α)(cos45°+ i・sin45°)
この式の意味は
B'はC'を原点の周りに45°回転させ大きさ（長さ）を2倍したところ
にある点であることを意味します。
従って
A'B'=2A'C'  ∠C'A'B'=45°
A'C'=kとおくと、余弦定理から
(B'C')^2＝(A'B')^2+(A'C')^2-2(A'B')(A'C')cos45°
=4k^2+k^2-2・2k・k・√2/2
=(5-2√2)k^2 
よって
△ABCはAB^2:BC^2:CA^2=4:(5-2√2):1となる三角形となります。

こんなふうになってしまいました。
5-2√2の平方根（二重根号）がはずせれば三辺の比が出ますけど、
できませんでした。仕方ないので三辺の２乗の比としました。
正解かどうか自信がありませんので、
どなたかアドバイスをお願いします（笑）