質問＜１５７０＞２００４／１／２４
from=フェッセンセン
「三角関数」

{1-(a/2)*cos^2(x)}*sin(x)の最大値が１となるようなaの値の範囲を求めよ。

cos^2(x) = {cos(x)}^2のことです。

なんとなく微分して極値をもとめるような感じはしたのですが実際のところ、
どのように解いたらいいのかよくわかりません

お便り２００４／２／２
from=T.Kobayashi

-1≦a≦8

お便り２００４／２／３
from=フェッセンセン

できれば途中の過程を教えていただけませんか？

お便り２００４／２／５
from=Tetsuya Kobayashi

f は実数全体で微分可能で、2\pi は周期なので、
[0,2\pi] の臨界値の最大値が 1 であればよい。
f(x) = cos(x)(1+a-(3a/2)cos^2(x)),
f'(x) = 0 の必要十分条件 cos(x)=0 or (3a/2)cos^2(x)=1+a.
cos(x)=0 のとき x=\pi/2, f=1 or x=3\pi/2, f=-1.
(3a/2)cos^2(x)=1+a について。まず a=0 のときは解なし。
a!=0 のとき、cos^2(x) は [0,1] を動くから、
0 \le 2(1+a)/(3a) \le 1 が解を持つ必要十分条件。
これを解くと a \le -1, 2 \le a.
-1 \lt a \lt 2 のとき、解を持たないので、最大値は 1 となる。
[0,2\pi] の cos^2(x) と sin(x) のグラフを考えれば
わかるように、cos^2(x)=2(1+a)/(3a) をみたすとき、
sin(x) = \pm sqrt(1-2(1+a)/(3a)) で、両方の符号の
値を実際に取る。このとき、
f(x) = \pm ((2-a)/3)sqrt((a-2)/(3a))
なので、
|(2-a)/3|sqrt((a-2)/(3a)) \gt 1 ならば最大値は 1 より大きく、
この値が 1 以下ならば最大値は 1 ということになる。
(i) a \le -1 のとき、
|(2-a)/3|sqrt((a-2)/(3a)) = sqrt((a-2)^3/(27a)) で、
g(a) = (a-2)^3/(27a) と置くと、
g'(a) = (a+1)(a-2)^2/(27a^2) で、
a \lt -1 のとき g'(a) \lt 0, g(-1)=1 なので、
a \lt -1 のとき g(a) \gt 1.
(ii) a \ge 2 のとき、
a \gt 2 のとき g'(a) \ge 0 で、g(8)=1 なので、
2 \le a \le 8 のとき g(a) \le 1 で、
8 \lt a のとき g(a) \gt 1.
以上より、最大値が 1 となるのは
-1 \le a \le 8
のときである。

お便り２００４／２／７
from=フェッセンセン

過程を書いていただきありがとうございます。
さて、
\ は　×　でしょうか？
\le は　＜　でしょうか？
\gt は 　＞でしょうか？
\pmがなんだかわかりません。

また、
{1-(a/2)*cos^2(x)}*sin(x)
から
cos(x)(1+a-(3a/2)cos^2(x))
の変形の仕方がわかりません。よろしくお願いします。

お便り２００４／２／１０
from=Tetsuya Kobayashi

変な記号の使い方ですね、すみません。
基本的に \ は、そのあとに続く文字とともに一つの記号を意味します。
\pi はギリシャ字のパイで、円周率を表します。
\le は小なりイコール。
\ge は大なりイコール。
\lt は小なり。
\gt は大なり。
\pm はプラスマイナス。
\mp はマイナスプラス。

あ、これは誤植ですね。
f'(x) = cos(x)(1+a-(3a/2)cos^2(x))
(f(x) の導関数)が正しいです。失礼しました。