質問＜１５４９＞２００４／１／８
from=はてなちゃん
「三角比」

三角形ABCのおいて、関係sinA:sinB：sinC=3:5:7
が成立しているときこの三角形の最も大きい角をもとめよ。

この問題がいくら考えてもさっぱりわかりません。
答えは１２０度だそうです。
どうやって解くのか教えてください。

お便り２００４／１／１１
from=wakky

正弦定理を知ってますかぁ？
三角形ABCにおいて、頂点A,B,C対辺の長さをそれぞれa,b,cとします。
つまりAB=c BC=a CA=b とします。
このとき次の式が成り立ちます。
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R Rは三角形ABCの外接円の半径。

そこでこの問題に着目しますと
sinA:sinB:sinC=3:5:7  ってことはつまり
3/sinA=5/sinB=7/sinC ってことになりますね。
これは正弦定理そのものですから
a:b:c=3:5:7 ってことになります。
ここでcが一番長いことは明らかですから
角Cが最大の角になります。
a/3=b/5=c/7=k とおくと a=3k,b=5k,c=7k だから

あとは余弦定理で
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=(-15k^2)/30k^2=-1/2 となります
つまり角C=120度です。

ただ、条件からいきなりa:b:c=3:5:7となるのはすぐにわかりますが、
少し乱暴なので、実際に問題を解くときには
AB=c,BC=a,CA=b とすると正弦定理より
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（Rは三角形ABCの外接円の半径）
これより、sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
条件より
sinA:sinB:sinC=a/2R:b/2R:c/2R=3:5:7
∴a:b:c=3:5:7  てな感じにしたほうがいいでしょう。
以下は前述したとおりです。

お便り２００４／１／１１
from=名無し

sinA:sinB:sinC=3:5:7なので、
3/sinA=5/sinB=7/sinC
正弦定理の逆より、kを正数として
BC=3k CA=5k AB=7k と、おける
三辺のうちABが最大なので求める角はC　余弦定理より
AB^2=BC^2+CA^2-2BC×CAcosC
  49k^2=25k^2+9k^2-30k^2cosC
cosC=1/2
Cは三角形の内角なので0°＜C＜180°
従って　C=120°