質問＜１３９２＞２００３／９／１０
from=１回生
「極限の問題」

①lim(x→0) (sinxーtanx)/x^3
②lim(x→1) x^(1/1-x)
③lim(n→∞) n{(x^1/n)ー1}　ｘ＞０
④lim(n→∞) (1+a/n^2)^n

お返事２００３／９／１２
from=武田

（１）
　　　　ｓｉｎｘ－ｔａｎｘ　　　　　ｓｉｎｘ（ｃｏｓｘ－１）
ｌｉｍ　─────────＝ｌｉｍ　────────────
ｘ→０　　　ｘ^3　　　　　　ｘ→０　　　ｘ^3・ｃｏｓｘ
　　　　　－ｓｉｎｘ（１－ｃｏｓｘ）（１＋ｃｏｓｘ）
＝ｌｉｍ　─────────────────────
　ｘ→０　　　ｘ^3・ｃｏｓｘ・（１＋ｃｏｓｘ）

　　　　　　－ｓｉｎｘ（１－ｃｏｓ^2ｘ）
＝ｌｉｍ　──────────────────
　ｘ→０　　ｘ^3・ｃｏｓｘ・（１＋ｃｏｓｘ）

　　　　　　　ｓｉｎｘ　　　　　　　　－１
＝ｌｉｍ　（──────）^3・────────────
　ｘ→０　　　　ｘ　　　　　　ｃｏｓｘ（１＋ｃｏｓｘ）

　　　　　　－１　　　　１
＝１^3・──────＝－─　………（答）
　　　　１（１＋１）　　２

（２）

ｌｉｍ　ｘ^（１／１－ｘ）＝Ｐとおく。
ｘ→１

ｘ－１＝ｔより、ｘ＝ｔ＋１

Ｐ＝ｌｉｍ　（ｔ＋１）^（１／ｔ）
　　ｔ→０

　＝ｅ（自然対数の底）………（答）

（３）
ｌｉｍ　ｎ｛ｘ^（１／ｎ）－１｝＝Ｐとおく。
ｎ→∞

１／ｎ＝ｔより、ｎ＝１／ｔ
ｎ→∞ならば、ｔ→０

　　　　　　ｘ^ｔ－１
Ｐ＝ｌｉｍ　─────
　　ｔ→０　　　ｔ

　＝ｌｏｇｘ………（答）
　　（ただし、ｘ＞０）

（４）
　　　　　　　　ａ
ｌｉｍ　（１＋───）^n　＝Ｐとおく。
ｎ→∞　　　　ｎ^2

ａ／ｎ^2＝ｔより、ｎ^2／ａ＝１／ｔ
ｎ→∞ならば、ｔ→０

Ｐ＝ｌｉｍ　｛（１＋ｔ）^（ｎ^2／ａ）｝^（ａ／ｎ）
　　ｔ→０

　＝ｌｉｍ　｛（１＋ｔ）^（１／ｔ）｝^（ａ／ｎ）
　　ｔ→０

　＝ｌｉｍ　ｅ^（ａ／ｎ）＝ｅ^０＝１………（答）
　　ｎ→∞