質問＜１３９１＞２００３／９／１０
from=１回生
「数列の極限」

次の数列の極限値を求めよ。
①｛a^n/n^k｝ a＞1 、k＞0
②｛nx^n｝x＞0
③｛n^2x^n｝x＞0

お返事２００３／９／１４
from=武田

（１）
　　　　ａ^n
ｌｉｍ　───
ｎ→∞　ｎ^k

ａ＞１より、ａ＝１＋ｈ（ｈ＞０）とおく。
ｋは正の定数だから、ｋ＜ｎにおいて考える。
　　　　　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ－１）
ａ^n＝（１＋ｈ）^n＝１＋ｎｈ＋──────・ｈ^2＋………＋ｈ^n
　　　　　　　　　　　　　　　　　２！

ａ^n　　１　ｎｈ　ｎ（ｎ－１）　　　　　　　　ｈ^n
──＝──＋──＋──────・ｈ^2＋………＋──
ｎ^k　ｎ^k　ｎ^k　２！・ｎ^k　　　　　　　　　ｎ^k

　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）………（ｎ－ｋ）
　　＞───────────────────・ｈ^(k+1)
　　　　　　　（ｋ＋１）！ｎ^k

　　　　ｈ^(k+1)　　　　　　　１　　　　２　　　　　　　ｋ
　　＞──────・ｎ・（１－─）（１－─）………（１－─）
　　　（ｋ＋１）！　　　　　　ｎ　　　　ｎ　　　　　　　ｎ

　　→∞（ｎ→∞のとき）

したがって、
　　　　ａ^n
ｌｉｍ　───＝∞（ａ＞１，ｋ＞０のとき）
ｎ→∞　ｎ^k

（２）
ｌｉｍ　ｎ^s・ｘ^n　（ｘ＞０のとき）
ｎ→∞
この極限のｓ＝１のときの問題

（ア）０＜ｘ＜１のとき
　　　　　　１
　　　ｘ＝───　（ｈ＞０）とおく。
　　　　　１＋ｈ

　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　１
　　　ｘ^n＝──────＜────────────────より
　　　　　　（１＋ｈ）^n　１＋ｎｈ＋ｎ（ｎ－１）／２・ｈ^2

　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　ｎ・ｘ^n＜────────────────
　　　　　　　　１＋ｎｈ＋ｎ（ｎ－１）／２・ｈ^2

　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　＝────────────────
　　　　　　　　１／ｎ＋ｈ＋（ｎ－１）／２・ｈ^2


　　　　　　　→０（ｎ→∞のとき）

　　　したがって、
　　　ｌｉｍ　ｎ・ｘ^n＝０（０＜ｘ＜１のとき）
　　　ｎ→∞

（イ）１≦ｘのとき
　　　ｋは正の定数だから、ｋ＜ｎにおいて考える。
　　　ｘ≧１より、ｘ＝１＋ｈ（ｈ＞０）とおく。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ－１）
　　　ｘ^n＝（１＋ｈ）^n＝１＋ｎｈ＋──────・ｈ^2＋………＋ｈ^n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２！

　　　　　　ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）………（ｎ－ｋ）
　　　　　＞───────────────────・ｈ^(k+1)
　　　　　　　　　　　（ｋ＋１）！

　　　　　　　　ｎ^2（ｎ－１）（ｎ－２）………（ｎ－ｋ）
　　　ｎ・ｘ^n＞────────────────────・ｈ^(k+1)
　　　　　　　　　　　　　　（ｋ＋１）！

　　　　　　　→∞（ｎ→∞のとき）

　　　したがって、
　　　ｌｉｍ　ｎ・ｘ^n＝∞（１≦ｘのとき）
　　　ｎ→∞

（３）
上のｓ＝２ときの問題なので、同様に考えて、
（ア）
　　　ｌｉｍ　ｎ^2・ｘ^n＝０（０＜ｘ＜１のとき）
　　　ｎ→∞
（イ）
　　　ｌｉｍ　ｎ^2・ｘ^n＝∞（１≦ｘのとき）
　　　ｎ→∞