質問＜１３７７＞２００３／８／３１
from=ハチ
「不等式の証明で。」

0＜=X1,0＜=X2,...,0＜=Xn のとき、
(1+X1)(1+X2)...(1+Xn)＜=e^(X1+X2+...+Xn)←eのX1+X2+...+Xn乗のことです。
を証明する問題なんですが、
解答は、
h(x)=e^X-(X+1)とおき、微分してh(X)がx>=0で連続、x>0でh(x)が単調増加で
あり、h(0)=0だから x>=0のときh(x)>=0と示し、
1+X1＜=e^X1,1+X2＜=e^X2,,,,1+Xn＜=e^Xnの各辺をかけて、証明終了。
なんですが
僕がやったやり方で正解かどうか教えてください。以下に書きます。
（証明）
　　両辺の自然対数をとると、
log(1+X1)+log(1+X2)+...+log(1+Xn)＜=X1+X2+...+Xn 
fn(x)=(X1+X2+...Xn)-{log(1+X1)+log(1+X2)+...+log(1+Xn)}　
とおき　fn(x)>=0を証明する。
ア) n=1のとき
　　f1(x)=X1-log(1+X1)    f'1(x)=1-1/(1+X1)=X1/(1+X1)   
　　X1>=0より f'1(x)>0 よってf1(x)はx>0で単調増加、
　　またf1(x)はx>=0で連続であり、f1(0)=0　
　　よってf1(x)>=0 　n=1のとき成立。
イ) n=kのとき　成り立つと仮定
　　n=k+1のとき、f'k+1(x)=(k+1)-{1/(X1+1)+...+1(Xk+1 +1)}    
　　ここでf'k+1(x)-f'k(x)=1-1/(Xk+1 +1)  
　　Xk+1>=0より 1-1/(Xk+1 +1)>=0 
　　よってf'k+1(x)>=f'k(x)>=0  
　　つまりf'k+1(x)>=0  
　　fk+1(x)はx>=0で連続でx>0でf'k+1(x)>0  fk+1(0)=0　
　　x>=0のときfk+1(x)>=0 よってn=kのときも成り立つ。
ア),イ)より、x>=0のとき成り立つ。　証明終了。

お返事２００３／９／２
from=武田

関数をおくところが違っています。
普通、１変数関数より、
ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｏｇ（１＋ｘ）
とおくことは良く、この関数については微分することができます。
　　　　　　　　　１
ｆ´（ｘ）＝１－―――
　　　　　　　　１＋ｘ

しかし、fn(x)=(X1+X2+...Xn)-{log(1+X1)+log(1+X2)+...+log(1+Xn)}
のような多変数関数では、微分も難しくなってしまいます。
解答のような　f'k+1(x)=(k+1)-{1/(X1+1)+...+1(Xk+1 +1)}　とは
なりません。

結局、
　　　　　　　ｘ
ｆ´（ｘ）＝―――
　　　　　　１＋ｘ
ｘ≧０より、ｆ´（ｘ）≧０
単調増加の関数ｆ（ｘ）となる。
ｆ（０）＝０－ｌｏｇ（１＋０）＝０より、
ｆ（ｘ）≧０
ｘ≧ｌｏｇ（１＋ｘ）
ｘ１，ｘ２，………，ｘｎより、
各辺を足して、
log(1+X1)+log(1+X2)+...+log(1+Xn)＜=X1+X2+...+Xn 
が証明される。
ｌｏｇを使わないときと、さほどかわらない。

お便り２００３／９／３
from=Tetsuya Kobayashi

正解です。というか、対数をとるかとらないかの違いだけで模範解答の方針
とあなたの答案の方針はほとんど同じといってよいでしょう。