質問＜１２９８＞２００３／７／５
from=こまりん
「対数の方程式」

x^y=y^x ,  log(x)log(y)=1
を満たす (x,y) の組をすべて求めなさい。
ただし、0＜y＜x とする。

お便り２００３／７／９
from=下野哲史

x=y とすると、
(log x)^2=1 より
log x=±1
x=e, 1/e
よって x=y ならば (x,y)=(e,e), (1/e,1/e)
これは、x^y=y^x にも成り立つ。
 
ところが、x^y=y^x を満たす解は最大で２つしか存在しない。
これを示す。
両辺の対数をとると
log (x^y)=log(y^x)
x>0, y>0 より
(log x)/x=(log y)/y
 
ここで、y=(log x)/x のグラフを考えると、
lim(x→+0) y=-∞ , lim(x→∞)y=0 (ロピタル使うと早い）
また
y'=(1-log x)/x^2 より、 
0＜x＜e で y は単調増加
   x>e で y は単調減少

   ↑y
    |
    |      /＼
    |     |   ＼_________
  --+----|----------→
  O |   | e           x
    |  |
 
こんなグラフ。（頻出だからおぼえておくといいです）
グラフから解が２つしかないのは明らか。
 
よって、x^y=y^x , (log x)(log y)=1 を満たす解は
0＜x＜y ならば存在しない。