質問＜１２９９＞２００３／７／５
from=800MB
「二次不等式」

  x-a      x-b
――――>――――
x^2+x+1　x^2-x+1

を満たすxの値の範囲が、1/2＜x＜1である。
a,bの値を求めよ。

A. a=4,b=2

[xについての2次不等式を導き、その2次式がx=1/2,1のとき0になる
ことを用いると簡単]と問題には書いてありました。しかし、どう
すればいいのか全くわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうかm(__)m

お便り２００３／７／７
from=Tetsuya Kobayashi

両辺の分母が常に正であることから、両辺に
両辺の分母の積を掛けても不等号の向きは。
一見3次式ですが、3次の項は消えてしまいます。
あとは2次不等式の理論を使うだけですね。

お便り２００３／７／７
from=下野哲史

左辺-右辺>0 の解が 1/2＜x＜1 となるには、
y=左辺-右辺 のグラフが 1/2＜x＜1 の部分だけ
x軸より上にあればよい。
 
ということは、x=1/2 と x=1 のとき、y=0 であるから
 
(1/2-a)/(1/4+1/2+1)-(1/2-b)/(1/4-1/2+1)=0 より 3a-7b=-2
(1-a)/(1+1+1)-(1-b)/(1-1+1)=0 より a-3b=-2
これを解くと、a=4, b=2 となる。
 
あとは、y=(x-4)/(x^2+x+1)-(x-2)/(x^2-x+1) が 
1/2＜x＜1 で y>0 となることを示すだけ。
y={ (x-4)(x^2-x+1)-(x-2)(x^2+x+1) } / { (x^2+x+1)(x^2-x+1) }
 ={ -2(x-1/2)(x-1) } / { (x^2+x+1)(x^2-x+1) }
 
x^2+x+1 と x^2-x+1　は常に正であるから、
 ( x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4 >0 )
1/2＜x＜1 で y>0 となる。