質問＜１２９４＞２００３／６／２８
from=かやう
「内積」

ベクトルｐ=(a,b,c)　ベクトルｑ=(x,y,z)とする。
(1)次の不等式を証明せよ。
　　　(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
(2)（１)を利用して、
　　　x^2+y^2+z^2=４のとき、x-2y+2zの最大値、最小値を求めよ。

お便り２００３／６／３０
from=Tetsuya Kobayashi

(1)  |\cos\theta|＜=1
  => 1-|\cos\theta|>=0
  => |\vec{p}||\vec{q}|(1-|\cos\theta|)>=0
  => |\vec{p}||\vec{q}|>=|\vec{p}||\vec{q}||\cos\theta|
  => |\vec{p}||\vec{q}|>=|\vec{p}\cdot\vec{q}|
  => |\vec{p}|^2|\vec{q}|^2>=(\vec{p}\cdot\vec{q})^2.

(2) Max=6, Min=-6.

お便り２００３／６／３０
from=juin

(1)内積を(p,q)で表す。
実数tに対して、(tp-q,tp-q)≧0
t^2*(p,p)-2t(p,q)+(q,q)≧0　これは、tの２次式で、常に正定値だから、判別式
D≦0 つまり、(p,q)^2-(p,p)(q,q)≦0
(p,q)^2≦(p,p)(q,q)これを成分で表せば良い。
(2)p=(1,-2,2),q=(x,y,z)とすると、(p,p)=9,(q,q)=4
(1)より(p,q)^2≦(p,p)(q,q)
-6=√{(p,p)(q,q)}≦(p,q)≦√{(p,p)(q,q)}=6
答p,qが同じ向きの時最大値６、p,qが逆向きの時最小値-６

お便り２００３／７／１
from=下野哲史

（１）
　 →　→
 　p ・q = √(a^2+b^2+c^2)√(x^2+y^2+z^2) ×cosθ
         = ax+by+cz
　　より
  (x^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)cos^2(θ)=(ax+by+cz)^2

　また 0≦cos^2(θ)≦1 であるから

 (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2

の方がシンプルできれいでは？
横槍すみません。