質問＜１２４２＞２００３／６／４
from=エリイ
「三角関数の値と角の関係」

0°≦α＜360°，0°≦β＜360°とする。
sinα＋cosβ＝√２，cosα＋sinβ＝－√２　のとき、
sin（α＋β）の値を求め、αとβの値を求めよ。

という問題なのですが、特に、αとβの値の求め方がわかりません。
答えはα＝135°，β＝315°らしいのですが、途中が分かりません。
問題を解いていくと…
両辺を二乗したりして、sin（α＋β）＝１まではわかるのですが、この後、
『α＋β＝90°またはα＋β＝450°となり、いずれのときも、
cosβ＝cos（90°－α）＝sinα，
sinβ＝sin（90°－α）＝cosα
二つの条件式から、sinα＝1/√2，cosα＝－1/√2 』
というのが読んでも全然分からないので、詳しく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

お返事２００３／６／４
from=武田

加法定理
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
条件をそれぞれ２乗して、
（sinα＋cosβ）^2＝２，（cosα＋sinβ）^2＝２
１＋２sinαcosβ＝２，１＋２cosαsinβ＝２
sinαcosβ＝１／２，cosαsinβ＝１／２
これより、
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝１………（答）

0°≦α＜360°，0°≦β＜360°より、
0°≦α＋β＜720°が範囲となるので、
sin（α＋β）＝１となるα＋β＝９０°または４５０°
sinβ＝sin（９０°－α）＝cosα
sinβ＝sin（４５０°－α）＝sin｛３６０°＋（９０°－α）｝
　　　　　　　　　　　　　＝sin（９０°－α）＝cosα
同様にして
cosβ＝sinα

これをはじめの条件に代入して、
sinα＋cosβ＝√２，cosα＋sinβ＝－√２　のとき、
２sinα＝√２　　　，２cosα＝－√２
sinα＝√２／２，cosα＝－√２／２より、
αは第２象限の角だから、α＝１３５°………（答）

同様にして、
cosβ＝√２／２，sinβ＝－√２／２より、
βは第４象限の角だから、β＝３１５°………（答）