質問＜１２３５＞２００３／６／１
from=７０３
「数と式の計算」

（問１）
ある整式x^2-1で割ると、商がｘ＾４＋ｘ＾２＋１で、余りがｘ＋１である
という。この整式をｘ＾２＋1で割ったときの商と余りをもとめよ。
・・・の問題の解き方をおしえてください。

（問２）
（ｘ＋１）（ｘ＾2＋ｘ＋１）（ｘ＾２－ｘ＋１）＾２を展開する問題と
（ｘ＋ｙ＋１）（ｘ－２ｙ＋１）－４ｙ＾２を因数分解する問題なのです
が、地道に計算するほかにとく方法はありますか？教えてください。

お返事２００３／６／１
from=武田

（問１）
Ｐ（ｘ）＝（ｘ^2－１）（ｘ^4＋ｘ^2＋１）＋（ｘ＋１）
　　　　　　　　　　　　商　　　　　　　　　余り
　　　　＝（ｘ^2）^3－１＋ｘ＋１
　　　　＝（ｘ^2）^3＋１＋ｘ－１
　　　　＝（ｘ^2＋１）（ｘ^4－ｘ^2＋１）＋（ｘ－１）
　　　　　　　　　　　　商　　　　　　　　　余り

（問２）
（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋１）^2
＝（ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋１）
＝（ｘ^3＋１）｛ｘ^2（ｘ^2－ｘ＋１）＋（ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋１）｝
　　　　　　　　^^^^                   ^^^^^^^^
＝（ｘ^3＋１）（ｘ^4－ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ^3＋１）
＝（ｘ^3＋１）（ｘ^4＋ｘ^2＋１）
＝ｘ^7＋ｘ^5＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^2＋１
＝ｘ^7＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋１………（答）

（ｘ＋ｙ＋１）（ｘ－２ｙ＋１）－４ｙ^2
＝｛（ｘ＋１）＋ｙ｝｛（ｘ＋１）－２ｙ｝－４ｙ^2
＝（ｘ＋１）^2－ｙ（ｘ＋１）－２ｙ^2－４ｙ^2
＝（ｘ＋１）^2－ｙ（ｘ＋１）－６ｙ^2
＝｛（ｘ＋１）－３ｙ｝｛（ｘ＋１）＋２ｙ｝
＝（ｘ－３ｙ＋１）（ｘ＋２ｙ＋１）………（答）