質問＜１１８４＞２００３／４／２６
from=け
「微分」

①y'=2xy/(xの2乗－ｙの2乗)

②－ｘの2乗＋ｙの2乗＝２ｘｙｙ’

の一般解を解く方法と答えを教えてください．

お便り２００３／４／２７
from=phaos

何れも y =xu と置けばよい。
y' = u + xu' となる。
(1)
y' = 2(y/x)/(1 - (y/x)^2) = 2u/(1 - u^2)
u + xu' = 2u/(1 - u^2)
xu' = (2u - u + u^2)/(1 - u^2) = (u + u^2)/(1 - u^2)
 = u(1 + u)/((1 - u)(1 + u) = u/(1 - u)
∫(1 - u)du/u = ∫dx/x
log (Cx) = ∫(1/u - 1) du = log u - u
log (Cx) = logy - log x - y/x, C は任意の定数。

(2)
2(y/x)y' = -1 + (y/x)^2
2u(u + xu') = -1 + u^2
u + xu' = (u - 1/u)/2
xu' = (u - 1/u - 2u)/2 = -(u + 1/u)/2 = -(u^2 + 1)/(2u)
-∫2udu/(u^2 + 1) = ∫dx/x
-log(u^2 + 1) = log(Cx)
1/((y/x)^2 + 1) = Cx
x^2/(x^2 + y^2) = Cx, C は任意の定数。