質問＜１１８５＞２００３／４／２６
from=け
「微分」

①２ｘ－ｙ+１＝(ｘ－２ｙ+３)ｙ’

②ｘ+２ｙ－１＝(ｘ+２ｙ+１)dy/dx

を教えてください．

お便り２００３／４／２７
from=phaos

(1)
2x - y + 1 = 0,
x - 2y + 3 = 0
を解くと
x = 1/3, y = 5/3 である。
そこで
ξ = x - 1/3, η = y - 5/3 と置くと
2ξ - η = (ξ - 2η)dη/dξ
即ち
dη/dξ = (2ξ - η)/(ξ - 2η) = (2 - (η/ξ))/(1 - 2(η/ξ))
そこで η = ξu と置くと dη/dξ = u + ξdu/dξ だから
u + ξdu/dξ = (2 - u)/(1 - 2u)
ξdu/dξ = (2 - u - (1 - 2u)u)/(1 - 2u) = 2(1 - u + u^2)/(1 - 2u)
∫(1 - 2u)du/(1 - u + u^2) = ∫dξ /ξ
-log(1 - u + u^2) = log(Cξ)
1/(1 - u + u^2) = Cξ
ξ^2/(ξ^2 - ξη + η^2) = Cξ, C は任意の定数
で, あとは ξ, η を x, y に戻せばよい。

(2)
こちらの場合は u = x + 2y と置き換えると
u' = 1 + 2y' 即ち y' = (u' - 1)/2 だから
u - 1 = (u + 1)(u' - 1)/2
2u - 2 = (u + 1)u' - (u + 1)
(u + 1)u' = 3u - 1
∫(u + 1)du/(3u - 1) = ∫dx
x - C = (1/3)(∫du + 4∫du/(3u - 1))
 = (1/3)(u + (4/3)log(3u - 1)), C は任意の定数。
あとは u = x + 2y を代入すればよい。