質問＜１１８３＞２００３／４／２４
from=ｋｋｋ
「最小値」

ｘ，ｙがｘ＞０，ｙ＞０，ｘ＋ｙ＝１を満たすとき
（１）
１／ｘｙがとりうる値の最小値をもとめよ
（２）
（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）がとりうる値の最小値をもとめよ

お便り２００３／４／２５
from=phaos

（１）
ｘ　＞　０，　ｙ　＞　０，　ｘ　＋　ｙ　＝　１　より
０　＜　ｘ　＝　１　－　ｙ　＜　１　即ち　０　＜　ｘ　　＜　１．
ここで
１／（ｘｙ）　＝　１／（ｘ（１　－　ｘ））
ところで
ｘ（１　－　ｘ）　＝　－ｘ＾２　＋　ｘ　＝　－（ｘ＾２　－　ｘ）　
　＝　－（（ｘ　－　１／２）＾２　－　１／４）
　＝　－（ｘ　－　１／２）＾２　＋　１／４．
０　＜　ｘ　＜　１　で最大値は　１／４　（ｘ　＝　１／２）．　従って
１／（ｘｙ）　≧　４．
［相加平均と相乗平均の関係から
１　＝　ｘ　＋　ｙ　≧　２√（ｘｙ）
だから　１／√（ｘｙ）　≧　２．
辺々自乗すれば同じ結果を得る］

（２）
（１　＋　１／ｘ）（１　＋　１／ｙ）
＝　（ｘ　＋　１）（ｙ　＋　１）／（ｘｙ）
＝　（ｘｙ　＋　ｘ　＋　ｙ　＋　１）／（ｘｙ）
＝　（ｘｙ　＋　２）／（ｘｙ）
＝　１　＋　２／（ｘｙ）　≧　１　＋　２×４　＝　９．

お便り２００３／４／２５
from=juin

（１）
０＜√ｘｙ≦（ｘ＋ｙ）／２＝１／２だから、
０＜ｘｙ≦１／４である。
１／（ｘｙ）≧４　　だから、ｘ＝ｙ＝１／２のとき、最小値４となる。

（２）
（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）＝１＋１／ｘ＋１／ｙ＋１／（ｘｙ）
＝１＋（ｘ＋ｙ）／（ｘｙ）＋１／（ｘｙ）＝１＋２／（ｘｙ）
（１）より、１＋２／（ｘｙ）≧９　だから、ｘ＝ｙ＝１／２のとき、最小値９となる。

お便り２００３／４／２６
from=通りすがり

差し出がましいようですが、１日たってもレスがついてなかったもので。
（１）
相加平均≧相乗平均より
ｘ＋ｙ≧２√（ｘｙ）
条件より　１≧２√（ｘｙ）
両辺を２乗して　１≧４ｘｙ
ここでｘ≠０，ｙ≠０よりｘｙ≠０なので両辺をｘｙで割って
１／（ｘｙ）≧４……（答）

（２）
１＋１／ｘ≧２√（１／ｘ）……（Ｉ）
１＋１／ｙ≧２√（１／ｙ）……（ＩＩ）
（Ｉ）＊（ＩＩ）より
（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）≧４√（１／ｘｙ）
（１）の結果より
√（１／ｘｙ）≧２
よって
（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）≧８……（答）