質問＜１１５０＞２００３／３／８
from=Q太郎
「体」

集合：｛a+bπ｜a,bは有理数｝は体となることを示してください。

お便り２００３／３／９
from=juin

(a+bPi)+(c+dPi)=(a+c)+(b+d)Pi
(a+bPi)(c+dPi)=ac+adPi+bcPi+bd(Pi)^2
(Pi)^2 is not a+bPi.
 Then {a+bPi|a,b are rational} is not a field.
{a+bπ|a,bは有理数}は体とならない。

お便り２００３／３／１０
from=phaos

π が円周率ならば, 体にはならない。
体だと仮定しよう。
1/π = a + bπ
と書けなければならないがこのとき
bπ^2 + aπ - 1 = 0
だが, π は超越数なので, 有理数係数の二次方程式を満たさない。
従って体ではない。

{a + bx | a, b ∈ Q}
が体になるためには x が Q 係数の二次方程式の
解になることが必要十分。