質問＜１１４１＞２００３／３／３
from=熊太郎
「方程式」

有理数a,b,cを係数とする方程式ｘ~3＋aｘ~2＋bｘ＋c＝０の
解の１つが１＋√2であるとする、
このとき次の各問いに答えよ。
ただし√2が無理数であることを用いてよい。

①a,b,cの条件を求めよ。

②1－√2もまた解である事を示せ。

③a,bがa~2＋b~2＜２５をみたすとき、
cの最大値と、a,bの値を求めよ。（＜は＝を含む）

お便り２００３／３／４
from=phaos

(1)
x = 1 + √2 を代入すると
7 + 5√2 + a(3 + 2√2) + b(1 + √2) + c
= (3a + b + c + 7) + (2a + b + 5)√2 = 0.
a, b, c は有理数で √2 は無理数だから
3a + b + c + 7 = 0
2a + b + 5 = 0.

(2) x = 1 - √2 を左辺に代入すると
x^3 + ax^2 + bx + c
= 7 - 5√2 + a(3 - 2√2) + b(1 - √2) + c
= (3a + b + c + 7) - (2a + b + 5)√2 = 0
だから 1 - √2 も解。

(3) 
(1) で求めた条件から
a = -c - 2,
b = -2a - 5 = 2c - 1.
これらから
a^2 + b^2 = (-c - 2)^2 + (2c - 1)^2
= 5c^2 + 5 = 5(c^2 + 1) ≦ 25.
c^2 + 1 ≦ 5.
c^2 ≦ 4
-2 ≦ c ≦ 2.
従って c の最大値は 2.
その時の a = -2 - 2 = -4,
b = 4 - 1 = 3.